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Analyse de la variance : ANOVA à un facteur Sir Ronald Fischer 1890-1962.

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1 Analyse de la variance : ANOVA à un facteur Sir Ronald Fischer

2 Thèmes 4 Le modèle linéaire général 4 Les postulats de base 4 La logique de lanalyse de la variance 4 Exemples 4 Les tests post-hocs 4 La taille deffet

3 Le modèle général linéaire X ij = µ + j + e ij X ij - la valeur observée pour le sujet i du groupe j µ - la grande moyenne j - linfluence du traitement sur le groupe j ( j = µ j - µ) e ij - lerreur ou les résidus - selon les postulats - sont distribués de manière normale avec une moyenne de µ = 0 et un écart-type de. Exemple: la taille moyenne des hommes est 68 et la taille moyenne des femmes est 65 La taille dun homme sera donc: e et la taille dune femme: e

4 Répartition des variances x ij = µ + j + e ij avec µ : j : e ij : Donc:

5 Les sommes des carrés

6 Les postulats de base 1. Le modèle général sapplique aux données 2. Les valeurs sont distribuées normalement dans la population 3. Les échantillons ont des variances homogènes 4. Les échantillons sont indépendants

7 La logique de lANOVA

8 La logique de lANOVA (suite) Les variances des différents échantillons sont donc égales et elles sont égales à la variance de la population p. 1 = 2 =... = ij = p avec 1 = s 1 = Nous pouvons donc estimer la variance de la population à partir de la moyenne des variances des échantillons ou bien:

9 Selon le théorème des limites centrales: la distribution déchantillonnage a une moyenne de µ et une variance de 2 /n si lhypothèse nulle est vraie il suit donc que: pour lestimé de p 2 il faut multiplier par n

10 Exemple Afin de tester lhypothèse que la consommation de caféine facilite lapprentissage trois groupes détudiants se préparent à un examen: le groupe 1 boit une tasse, le groupe 2 boit 2 tasses et le groupe 3 boit 3 tasses de café. Voici leurs scores à lexamen:

11 Exemple suite

12 Sommes des carrés moyens Intra-groupe: Inter-groupe:

13 Calcul de F Valeur critique pour 2,12 df et =.05 -> 3.89

14 Exemple 2

15 Suite

16 Sommes des carrés moyens Intra-groupe: Inter-groupe:

17 Calcul de F Valeur critique pour 2,12 df et =.05 -> 3.89

18 Tableau ANOVA

19 Résumé 4 La variance intra-groupe (la somme moyenne des écarts carrés entre chaque observation et la moyenne du groupe) est un estimé de la variance de la population. 4 Quand lhypothèse nulle est vraie - et seulement dans ce cas - la variance inter-groupe (la somme moyenne des écarts carrés entre chaque moyenne de groupe et la grande moyenne) est, selon le théorème des limites centrales, aussi un estimé de la variance de la population 4 Quand il y a un effet de traitement, donc quand lhypothèse nulle est fausse, la variance inter-groupe est plus large que la variance intra- groupe 4 Lanalyse de la variance consiste à calculer le rapport entre la variance inter-groupe et la variance intra-groupe et de comparer le résultat avec une distribution déchantillonnage connue: la distribution F.

20 Les tests post-hocs

21 Erreurs Erreur (ou ) par comparaison - le niveau choisi pour une seule comparaison de moyennes 4 Erreur par famille - le nombre moyen des erreurs faites par famille de comparaisons 1- (1- ) c C Exemple: =.01 et C = 5 =.049 ou approx..05

22 Contraste 4 Définition: Une comparaison de J moyennes telle que la différence entre deux des J moyennes ou la différence entre une moyenne et la moyenne de deux autres moyennes c 1 1 c 2 2 c j j c j j

23 Excursion - Orthogonalité 4 Une comparaison est orthogonale si: (c 1j c 2j )/n j = 0 4 Exemple: jth moyenne C 1: C2: C3: vs 2: c 1j c 2j =(1)(1) + (-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 1 1 vs 3: c 1j c 2j =(1)(0) + (-1)(0) + (0)(1) + (0)(-1) = 0

24 Tukeys-HSD (John Tukey, )

25

26 La taille deffet

27 Taille de leffet 4 La corrélation entre la VI et la VD (r) 4 Le pourcentage de la variance de la VD expliqué par la VI (r 2 ) 4 La différence entre deux moyennes en unités décart-type (d)

28 Taille deffet: eta 2 et omega 2

29 Les tailles

30 Puissance La probabilité de trouver un effet de taille x dans un échantillon de taille N en utilisant un test statistique avec un donné. F crit = 2.58

31 Les erreurs

32 Taille deffet et beta

33 Variance et beta

34 Calcul de puissance

35

36

37 javastat.html#Power


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