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Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de variance FRT C5.

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1 Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de variance FRT C5

2 Question posée Etude de la relation entre –Une variable qualitative à plus de 2 classes –Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance

3 Question posée Etude de la relation entre –Une variable qualitative à plus de 2 classes –Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance La variable qualitative qui distingue les populations est le facteur étudié; il peut être aléatoire ou fixe –Comparaison du poids moyen de plusieurs portées de souris : facteur « portée » est aléatoire –Comparaison dun dosage biologique chez 3 groupes de malades traités par 3 traitements différents : facteur traitement est fixe –Même problème mais 1 groupe recevant un placebo

4 Hypothèses H 0 : 1 = 2 = ……. = k H 1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes (2 moyennes parmi k sont ) On fera lhypothèse que la variance est la même ² dans les k populations Exemple : k=3, même variance ² –Sous H1, 1, 2, 3 sont différentes –en regroupant, la moyenne générale est et la variance totale T ²

5 Représentation graphique ² T ² H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T ²est plus grande que la variance ² de chaque population et dautant plus grande que les moyennes sont + dispersées X

6 Hypothèses H 0 : 1 = 2 = ……. = k H 1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes On fera lhypothèse que la variance est la même ² dans les k populations Exemple : k=3, même variance ² –Sous H1, 1, 2, 3 sont différentes –en regroupant la moyenne générale est et la variance totale T ² –Si H0 est vraie, T ² = ²

7 Représentation graphique ² T ² ² H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T ²est plus grande que la variance ² de chaque population et dautant plus grande que les moyennes sont + dispersées H0 : moyennes et variances étant égales dans les 3 populations, T ² = ²

8 Principe On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « lintérieur » de chacune des populations à la var T ² On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance

9 Principe On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « lintérieur » de chacune des populations à la var T ² On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance Lampleur de la dispersion totale de T ² dépend : –De la dispersion au sein de chacune des k populations comparées, mesurée par ² –De la dispersion entre ces populations

10 Principe de lANOVA Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : –variabilité intra population et –variabilité inter population –Puis comparer ces 2 parties

11 Principe de lANOVA Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : On sintéresse à la somme des carrés des écarts qui est le numérateur de la variance –Une réécriture de la SCE T permet de faire apparaître –SCE T = (x ij – m j )² + n j (m j – m)² = SCE R + SCE A ij intra groupe inter groupes résiduelle* ou intraclasses à (n-k) ddl due au facteur A ou interclasses à (k-1) ddl *résiduelle : ce qui reste une fois le facteur dintérêt pris en compte

12 Principe de lANOVA Les variances sont donc : –SCE R et SCE A et s R ²est une n – k k – 1 estimation de ² Hypothèses : –H 0 : A ² = R ² = ² –H 1 : A ² > R ² Test : s A ²SCE A /(k-1) suit une loi de Fisher s R ²SCE R /(n-k) à (k-1) et (n-k) ddl notée F k-1 n-k =

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14 Quand faire une ANOVA Quand la question posée est celle dune comparaison globale de plusieurs moyennes –3 molécules anti-virales, mesure de la charge virale à S4 –Il ny a pas da priori sur la supériorité de lune ou les autres –Comparaison des 3 : Non rejet dH0 : on ne peut pas conclure à une différence Si H0 est rejetée, il est légitime de rechercher où se situe la différence par comparaisons 2 à 2

15 Erreurs à éviter = X X m1m1 m2m2 m3m3 Les fluctuations déchantillonnage rendent compte dune différence non significative entre les 3 moyennes Il ne serait pas correct de comparer demblée 2 à 2, et notamment m 2 et m 3 qui sont les plus éloignées de


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