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LAnalyse de Variance 1 1.Généralités 2.Le modèle 3.Calculs pratiques 4.Conditions dapplication de lANOVA 5.Mesure de la décomposition de la SCE.

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1 LAnalyse de Variance 1 1.Généralités 2.Le modèle 3.Calculs pratiques 4.Conditions dapplication de lANOVA 5.Mesure de la décomposition de la SCE

2 Le modèle linéaire simple Projection : Y = a + bX1 + b2X2 +….+ ei X continue: régression linéaire simple X discrète: ANOVA Combinaisons: régression multiple, ANOVA2, ANCOVA Les erreurs suivent une distribution : normale centrée de variance constante et sont indépendantes LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

3 Quand utiliser lANOVA Pour tester leffet dune variable explicative discrète variable explicative = facteur et chaque facteur a plusieurs niveaux ou traitements lANOVA teste si toutes les moyennes sont égales Témoin Expérimental (N) Expérimental (N+P) Rendement Fréquence C N N+P LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

4 Possibilités et limites Permet de tester si toutes les moyennes sont égales (au niveau)... …mais si on rejette H 0, lANOVA ne dit pas lesquelles Rendement Fréquence C N N+P Fréquence C N N+P LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

5 Types dANOVA Fixe : les traitements sont déterminés (manipulés) par le chercheur Aléatoires : les modalités sont choisies au hasard dans une population de modalités: on peut estimer leffet du facteur pour dautres modalités non étudiées Données identiques, modèles différents, calculs identiques mais seulement pour lANOVA à un critère de classification! LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

6 ANOVA fixe : rendement agricole nini = N = T LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

7 ANOVA aléatoire: poids de lours noir variable dépendante est le poids, facteur (X) = site, p=3 Question = effet site, au-delà des sites étudiés Poids (kg) Riding Mountain Kluane Algonquin LAnalyse de Variance 1 1. Généralités

8 2. Le modèle Les p moyennes sont- elles identiques? Les modalités de A influencent-elles Y? Y A1A2A3A4A1A2A3A4 moyenne de Y effet de la i ème modalité (constante). Ho : i = 0 erreur aléatoire LAnalyse de Variance 1

9 Dans une ANOVA, la variance totale est répartie en deux composantes: intergroupe: variance des moyennes des différents groupes (traitements) intragroupe (erreur): variance des observations autour de la moyenne du groupe 2. Le modèle LAnalyse de Variance 1

10 Répartition de la somme des carrés totale Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Y SC TotaleSC Modèle (Groupes)SC Erreur LAnalyse de Variance 1 2. Le modèle

11 Ho : les p moyennes sont égales Ha : au moins une moyenne diffère des autres Décomposition de la Somme des Carrés des Ecarts (SCE) SCE T = SCE A + SCE R(=E) = SCE inter + SCE intra = SCE B + SCE W LAnalyse de Variance 1 2. Le modèle

12 Tableau dANOVA Sources de variation Somme des carrés Carré moyen (CM) Degré de liberté (ddl) F Totale Résidus n - 1 n - p SCE T /ddl SCE R /ddl Facteurp - 1SCE A /ddl CM A CM R i1 k ij j1 n 2 ( Y Y ) i i i i k n Y Y() 1 2 i1 k i j1 n 2 ( Y YiYi ) i j LAnalyse de Variance 1 2. Le modèle

13 CM intergroupe mesure les différences moyennes au carré entre moyennes des groupes CM résiduel est une mesure de la précision Rendement Frequence C N N+P Frequence C N N+P F plus petit F plus grand LAnalyse de Variance 1 2. Le modèle

14 Lhypothèse nulle H 0 : les moyennes de tous les groupes sont les mêmes, ou H 0 : il ny a pas deffet des groupes, i =0, ou H 0 : F = CM intergroupe / CM erreur = 1 pour p groupes et pour un nombre dobservations N, on compare avec la distribution de F au niveau avec p - 1 et N - p degrés de liberté Rendement Frequence C N N+P Frequence C N N+P F plus petit F plus grand LAnalyse de Variance 1 2. Le modèle

15 , or : LAnalyse de Variance 1 3. Calculs pratiques 2 2 N T YSCE ij T SCE A T i. n i 2 i T N 2 SCE R SCE T SCE A

16 Exemple = 264 = 186 LAnalyse de Variance 1 3. Calculs pratiques

17 LAnalyse de Variance 1 SVSCEddlCMF A ,15 R78613 T2648 Exemple 3. Calculs pratiques

18 e ij aléatoires = indépendants et chaque - indépendants : plan dexpérience : modalités indépendantes individus indépendants : pas de double mesure, tirage au hasard - de moyenne nulle : par construction - de distribution normale : normalité de Y? étude graphique (TP) - de même variance : homoscédasticité 4. Conditions dapplication de lANOVA LAnalyse de Variance 1

19 Ces conditions sappliquent aux résidus et non aux données brutes …on doit tester les conditions dapplication après que lanalyse soit faite et que les résidus soient obtenus 4. Conditions dapplication de lANOVA LAnalyse de Variance 1

20 5. Mesure de la décomposition de la SCE Part de la variabilité de Y expliquée par lANOVA : 2 inclue * SCE T expliquée de façon linéaire : r 2 * SCE T expliquée de façon non linéaire : 2 -r 2 2 r 2 LAnalyse de Variance 1

21 Part de la variabilité du rendement expliqué par le sol: Exemple 5. Mesure de la décomposition de la SCE LAnalyse de Variance 1

22 Démonstration SCE T = SCE R + SCE A + double produit, or : Le double produit est nul.


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