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1 Problème dacheminement République Algérienne Démocratique et Populaire et de la recherche scientifique Université des sciences et de la teMinistère de.

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1 1 Problème dacheminement République Algérienne Démocratique et Populaire et de la recherche scientifique Université des sciences et de la teMinistère de lenseignement supérieur chnologie dOran Mohamed Boudiaf - U.S.T.O - MB Faculté des sciences Département dInformatique Spécialité :I.S.I Présenté par: LARBI Djamila BOUCHENAFA Brahim El-Khalil Examinateur :Mr.hamdaoui Projet Recherche Opérationnelle

2 2 plan I.Introduction II.Problème dacheminement III.DFCI IV.Distribution deau potable V.conclusion

3 3 Introduction Définition La RO est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. La RO propose des modèles conceptuels pour analyser des situations complexes et permet aux décideurs de faire les choix les plus efficaces. Une approche de RO Comprendre le problème Modéliser le problème Proposer des méthodes de résolution, d'aide à la décision Tester les méthodes Mettre en place les méthodes et les confronter à la réalité

4 4 actuelle production Transport Aéroportuaire Télécommunication Spatial futur extraction de connaissances bioinformatique écologie les grands BDD Les domaines dapplication Introduction

5 5 Les problèmes de sac à dos Les problèmes dacheminement Les problèmes daffectation Les problèmes dordonnancement Les problèmes de file dattente Les grandes classes de problème Introduction

6 6 Les problèmes dacheminement Il sagit de divers problèmes entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités. problèmes de chemin optimaux Problèmes de distribution sans capacités – problème de transport – problème de transbordement Problèmes de distribution avec capacités – Problème de flot maximum – Problème de flot de coût minimum – Problème de multi flots Introduction

7 7 problèmes de chemin optimaux Les problèmes dacheminement Graphe orienté value G=(X,U,C) on sintéresse au PCC (plus court chemin). Pas de circuit, de coût négatif; Plusieurs problèmes se distinguent Trouver le PCC entre deux nœuds - Algorithme de Dantzig, Dijkstra, Bellman, etc. Trouver un PCC entre un nœud s et tous les autres. Trouver le PCC entre tout couple de nœuds, U lensemble des arcs X lensemble des nœuds, C la fonction de poids ou de coût appliquée aux arcs.

8 8 Chercher le plus court chemin entre sommet de départ a et sommet darrivé b, Déterminer pour tout sommet x un nombre W(x) qui donnera la longueur du plus cours Chemin entre a et x Arrêt Sarrêter une fois tous les sommets sont affectés dun nombre W. Les problèmes dacheminement Algorithme de Dantzig

9 9 Les problèmes dacheminement Algorithme de Dijkstra Déterminer le plus cours chemin dun sommet á tous les autre sommets soit P (potentiel) une fonction définie sur les sommets S: source ou sommets de départ. X: ensemble des sommets du graphe. M: ensemble des sommets marqués.

10 10 Les problèmes dacheminement

11 11 Les problèmes dacheminement Il sagit de divers problèmes de transport entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités. problèmes de chemin optimaux Problèmes de distribution sans capacités – problème de transport – problème de transbordement Problèmes de distribution avec capacités – Problème de flot maximum – Problème de flot de coût minimum – Problème de multi flots Les problèmes dacheminement

12 12 problèmes de transport C 11 C 12 ……………… C 1 n. C m 1 C m 2 ……………… C mn a1a2ama1a2am - Données: un ensemble X de m origines avec des disponibilités ai pour chaque produit et un ensemble Y de n destinations avec des demandes bj. Coût unitaire cij. b1 b2 ………………………..bn - Objectif: calculer un plan de transport pour minimiser le coût de transport les biens disponibles i {1..m} les biens demandés j {1..n} xij : quantités transportées du i vers j usines clients Les problèmes dacheminement Σ a i = Σ b j i j Coût

13 13 problèmes de transport 26 Disponibilité Usines Les problèmes dacheminement Demande Clients x 11 C 12 x 12 C 13 x 13 C 14 x 14 C 21 x 21 C 22 x 22 C 23 x 23 C 24 x 24 C 31 x 31 C 32 x 32 C 33 x 33 C 34 x 34 -Modélisation de problème x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 9 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 10 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 7 x 11 + x 21 + x 31 = 6 x 12 + x 22 + x 32 = 9 x 13 + x 23 + x 33 = 8 x 14 + x 24 + x 34 = 3 pour l'usine 2 pour l'usine 3 pour l'usine 1 pour le client 1 pour le client 3 pour le client 2 pour le client 4 Min Z = c11.x11+c12.x12+…+c34.x34

14 14 problèmes de transport -Modélisation de problème Min Z=ΣΣcijxij I j Les problèmes dacheminement Fonction objectif Contraintes Σ xij = b j pour 1 i n i Σ xij = a i pour 1 j m j xij 0 de production de consommation de signe

15 15 Les problèmes dacheminement problèmes de transport La solution coin Nord-Ouest ("hasard") des solution non optimale Balas-Hammer On choisit le chemin ayant le cout le plus faible et on lutilise pour transiter le maximum de marchandises. ici, cest le chemin (1,1), on y fera passer 9 unités de marchandises = = = = = = Z= 12*9 + 27*9 + 39*2 + 78* *5 + 92*3 + 24*6 + 53*5 + 40*9 = 3634 Cette solution est optimal

16 16 DFCI Défense des Forêts Contre les Incendie

17 17 est un incendie qui se propage sur une étendue boiséeincendie DFCI Feu de foret

18 18 DFCI Cause inconnue ; Cause naturelle : imprudences, accidents dus à la circulation en forêt ou en périphérie, lignes électriques, dépôts dordures, reprise de feu, etc. Causes essentiellement, la foudre ; pyromanie, conflit, intérêt politique ou foncier.Cause humaine involontaire (ou accidentelles) : Cause humaine volontaire :

19 19 DFCI Causes

20 20 DFCI Dégâts physiques Algérie : surface brulée est Dégâts écologiques: Pollution de l'air Pollution photochimique: Les gaz émis interagissent avec les rayons solaires ultraviolets pour produire une pollution dite photochimique.photochimique Gaz à effet de serre Dégâts

21 21 DFCI Les moyens de lutte contre les incendies de forêt en Algérie La défense contre les incendies Equipements et infrastructuresNombre Brigades Mobiles Postes de Vigie Chantiers d intervention camions citernes feux de forêts (CCF)camions citernes feux de forêts camions citerne grande capacit é (CCGC) camions citerne grande capacit é Camions Ravitailleurs Points d eau

22 22 DFCI Description de problème une image satellitaire permet de mieux voire une exemple d incendie, Deux forêts brûlent au même temps

23 23 DFCI Données 2forêts br û lent : Msila, Merjajou. L eau n é cessaire disponible dans 2 Points d eau: A et B Graphe orient é value G= (Y, U, C) - Y l ensemble des n œ uds, - Uij l ensemble des arcs - Cij : la distance entre le points d eau i et forets j Xij quelle quantit é d eau envoy é ( points d eau i aux forets j) et avec quel camions MsilaMerjajou Points deau AX 11 X 12 Points deau BX 21 X 22 Description de problème

24 24 DFCI Description de problème

25 25 Demande : 800 m³ pour Msila 1600 m³ pour Merjajou Disponibilités 1000 m³ a A 1500 m³ a B Description de problème DFCI

26 26 objectif DFCI Description de problème objectif Minimiser les dégâts estimés (2) quantit é s demand é es ne d é passent pas la quantit é s disponibles Comment Par la Minimisation de temps de parcours entre les points d eau et les lieux d incendie (1) les demandes sont satisfaites (3) quantit é s envoyées > 0

27 27 DFCI Modélisation de problème (2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles (1) les demandes sont satisfaites (3) quantités envoyées > 0 X 11 +X 21 >=800 X 12 +X 22 >=1600 X 11 +X 12 <=1000 X 21 +X 22 <=1500 Xij >0 La fonction objectif: Min Z= X 11 U 11 +X 12 U 12 +X 21 U 21 +X 22 U 22

28 28 DFCI Description de problème Conclusion Une lutte efficace contre les incendies passe par la mise à disposition des pompiers dune quantité deau suffisante et toujours disponible. Cest une obligation dont la responsabilité incombe aux maires, quelle que soit la nature de lenvironnement. Si les choses semblent assez faciles en milieu urbain, elles sont parfois plus difficiles à réaliser en milieu rural. Souvent, la solution de facilité consiste à surdimensionné les réseaux dalimentation en eau des communes.

29 29 les biens demandés j {1..n} DFCI La formule générale les biens disponibles i {1..m} la distance entre i et j xij : quantités transportées du i vers j C 11 C 12 ……………… C 1 n. C m 1 C m 2 ……………… C mn b1 b2 ………………………..bn a1a2ama1a2am Points deau forêts

30 30 Problème de distribution deau potable

31 Page 31 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Introduction: Daprès ce que a était présenté par Melle LARBI Djamila on peut estimé que leau le moyen le plus important pour gérer DFCI Dans le but damélioré le rendement de la distribution et de réfléchir à des solutions pour mieux gérer leau qui est un bien commun et une ressource indispensable à la vie en fait appel a la recherche opérationnelle qui vat nous permettent de traité de différent problèmes. M aximisation du flot dans un réseau hydraulique. M inimisation des couts de distribution. Problème de distribution deau potable

32 Page 32 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. De la source aux consommateurs Barrage deau les château deau les robinets les poteaux d'incendie Problème de distribution deau potable

33 Page 33 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Le problème est de déterminer s'il est possible de satisfaire à travers un réseau la demande des différentes villes et comment ??? Pour résoudre ce problème il faut dans un premier temps le modéliser. Pour cela, nous introduisons un nouveau problème standard qui est celui du flot maximal sur un réseau. Problème du flot maximal sur un réseau. Présentation du problème :

34 Page 34 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U, C, s, p) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible. Problème du flot maximal sur un réseau.

35 Page 35 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Modélisation de problème déterminer un flot maximal sur G, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible. – Respectant les capacités (1) – Conservation de flots (2) – Valeur de flot à maximiser (3) Fij Cij (i,j) U (1) Σ Fij = Σ Fij i,j N i,j s, p. (2) j succ s j pred p Σ Fij = Σ Fij =F (3) j succ s j pred p Fonction objectif Contraintes Objectif: Un réseau G = (X, U, C, s, p) Un flot est une application F de U dans |N. Problème du flot maximal sur un réseau.

36 Page 36 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Exemple détude Un graphe représente un système de distribution de leau Problème du flot maximal sur un réseau.

37 Page 37 Données Graphe orienté value G= (X, U, C, B, ): Demande m³ pour la ville m³ pour la ville m³ pour la ville 3. Disponibilité Deux châteaux d'eau ont une capacité = m³ Description de problème Problème du flot maximal sur un réseau.

38 Page 38 Objectif Maximiser la quantité d'eau qui doit être distribuer à la population Comment Par la détermination dun flot max sur G, et dont le flot F sur larc de retour u est le plus grand possible, mais on: 1)Respectant les capacités. 2)Respectant la loi de Conservation de flot. 3)Valeur de flot á maximisé. Description de problème Problème du flot maximal sur un réseau.

39 Page 39 on introduit deux sommets : s avec deux arc (s,C1) et(s,C2) p avec trois arc (V1,p);(V2,p) et (V3,p) on introduit un arc de retour : Représente le flot du réseau. Modélisation de problème Problème du flot maximal sur un réseau. 170

40 Page 40 1)A chaque arc on a les flot inferieur a la capacité: pour l arc (s,c1) : pour l arc (s,c2) : pour l arc (c1, v1) :30 30 pour l arc (c1, p1) :60 60 pour l arc (v2, p) :40 40 pour l arc (v3, p) : )La loi de conservation est vérifier à chaque nœud: Pour c1 on 90=60+30, Pour c2 on 80=50+30, Pour p1 on 60+50= , Pour p2 on 20+30=50 3)La loi de conservation est vérifier á s et p 80+90= =F Modélisation de problème Problème du flot maximal sur un réseau La fonction objectif : Max F

41 Page 41 Formule générale F ij C ij (i,j) U (1) Σ F ij = Σ F ij =F (3) j succ s j pred p Σ F ij = Σ F ij i,j N i,j s, t. (2) j succ i j pred I Problème du flot maximal sur un réseau. Pour une solution optimale au problème en fait appel a lalgorithme de Ford- Fulkerson.

42 Page 42 Définition du problème de flot maximal sur un réseau 1)Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : -il est connexe -il possède deux sommets particuliers s et p. -les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu Cu. -graphe sans boucle. 2)Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Algorithme de Ford-Fulkerson principe: Fin := FAUX Partir d'un flot initial compatible avec les capacités TANTQUE fin = FAUX Effectuer la procédure de marquage à partir du flot courant Si p est non marqué ALORS poser fin:= VRAI {le flot SINON Modifier le flot à partir d'une chaîne améliorante μ de s vers P dans G. FINTANTQUE FIN Laugmentation du flot δ est donnée par: δ = min{(Cij-Fij)(i,j) μ, Fij(i,j) μ+} Propriétés : Le flot maximum est égal à la valeur de coupe minimale Notion de coupes: Une coupe est une partition de nœuds Z=(S,P) avec s S et p P. La capacité de la coupe est la somme des capacités des arcs de S vers P. Algorithme de Ford-Fulkerson

43 Page 43 Algorithme de Ford-Fulkerson Application de lalgorithme sur le réseau de distribution d'eau: 1ere itération de lalgorithme: Marquage de la source S (+). pour larc (s, c1) :90 < 100 (+). pour larc (c1, c2) :30= 30 on ne peut marqué. pour larc (s, c2) :80 < 100 (+). pour larc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marqué. pour larc (c2, p2) :30 < 40 (+) pour larc (p2, p1) :20 >0 (-). pour larc (p1, v1) :20 <30 (+). enfin le sommet P marqué (+) Alor on a donc mis en évidence une chaîne améliorante S C2 P2 P1 V1 p qui permet d'augmenter le flot. Le long de cette chaîne on peut envoyer 10 unités supplémentaires eme itération de lalgorithme: Marquage de la source S (+). pour larc (s, c1) :90 < 100 (+). pour larc (c1, v1) :30= 30 on ne peut marquer. pour larc (s, c2) :90 < 100 (+). pour larc (c2, p1) :40= 40 on ne peut marquer. pour larc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marquer. La procédure de marquage permet de marquer s, puis C1 puis C2. On ne peut rien marquer d'autre, tous les arcs issus de C1 ou C2 ayant leur capacité saturée. Donc le flot actuel est maximal. On ne peut donc envoyer aucune quantité supplémentaire. Valeur de coupe minimale = F = m³.

44 Page 44 Conclusion En réalité En Algérie (ou pays en développement) lintégration de la recherche Je propose un exemple (avec reportage) dun système doptimisation de la distribution de leau potable dans un pays développer (France) quil a totalement des différentes techniques et objectifs. opérationnelle dans différent domaine (en précision Optimisation de la distribution d'eau potable) est Loin des aspirations. Problème de distribution deau potable

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