Conception et analyse des algorithmes

Présentation au sujet: "Conception et analyse des algorithmes"— Transcription de la présentation:

1 Conception et analyse des algorithmes
8INF806 Conception et analyse des algorithmes

2 1936 Définition formelle de la notion d'algorithme:
Turing: Machine de Turing Post: Machine de Post Kleene: fonctions récursives Church: -calculus

3 Problèmes indécidables
Certains problèmes n'admettent aucun algorithme. ex. Problème d'arrêt ex. Résoudre une équation diophantienne ex. Le jeu de la vie (game of life)

4 Thèse de Church-Turing
Toutes ces définitions sont équivalentes Notion intuitive d'algorithme = machine de Turing Remarque: ordinateur bio-moléculaire et ordinateur quantique.

5 Efficacité des algorithmes
Quantité raisonnable de ressources Ressources: temps, espace mémoires, nombre de processeurs, nombre de bits de communications, nombre de bits aléatoires, etc. Nous considérerons surtout le temps Algorithme efficace = temps polynomial

6 Thèse de Church-Turing étendue
algorithme efficace = machine de Turing efficace

7 Théorie de la complexité
Prouver que certains problèmes requièrent une quantité minimale de ressources. Exemple: Factorisation d'un entier n Conception d'algorithme: borne supérieure Théorie de la complexité: borne inférieure

8 Pourquoi des bornes inférieures
Résultats négatifs Évite de perdre son temps La recherche de bornes inférieures peut conduire à la découverte d'algorithmes efficaces. Exemple: Test de primalité

9 Difficulté du domaine Borne supérieure  un seul algorithme
Borne supérieure  tous les algorithmes Fait: Aucun des plus important problèmes en complexité n'a encore été résolu Exemple: Dernier théorème de Fermat

10 Question centrale: P≠NP
P: ensemble des problèmes disposant d'une solution efficace Exemple: test de primalité NP: ensemble de problèmes pour lesquel on ne connaît aucun algorithme efficace Exemple: Problème du commis voyageur

11 Comparer des problèmes (réduction)
Deux problèmes: A et B A≤B si on peut construire un algorithme efficace pour A si on dispose d'un algorithme efficace pour B B est au moins aussi difficile que A A et B ont le même niveau de difficulté si A≤B et B≤A.

12 Exemple A: multiplication B: mise au carré X2 = X × X X × Y =

13 Problèmes NP-complet Un problème A est NP-complet si: A est dans NP
B ≤ A pour tout B dans NP A est le problème le plus difficile dans NP Si A admet un algorithme efficace alors tous les probles B dans NP admettent un algorithme efficace

14 Que faire quand un problème est trop difficile?
Reformuler le problème Algorithmes probabiliste: L'espérance du temps est raisonnable La probabilité d'erreur est raisonnable Algorithme d'approximation Pour les problèmes d'optimisation (ex. TSP) Heuristiques (algorithmes génétiques, etc.)

15 Quelques joyaux Théorème de Cook: Théorème PCP
SAT est NP-complet Théorème PCP Exemple: circuit hamiltonien Théorème de Furst, Saxe et Sipser. Limites du parallélisme