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Géométrie des réseaux dinteractions : rôle en écologie et épidémiologie Alain Franc (1) & Nathalie Peyrard (2) (1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux (2) INRA,

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1 Géométrie des réseaux dinteractions : rôle en écologie et épidémiologie Alain Franc (1) & Nathalie Peyrard (2) (1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux (2) INRA, Biométrie Avignon, France Avignon, mai 2006

2 Plan I.ContexteEpidémiologie sur un graphe Métapopulations Espèces invasives II.« Interacting particle models » sur un graphe : vers des modèles simples, et accessibles III. Quelques explorations durant le régime transitoire

3 Contexte : Epidémiologie sur un graphe, Métapopulations, Espèces invasives

4 Principaux types de modèles spatio-temporels

5

6 Graphe : un outil mathématique

7 Graphes

8 Exemple

9 Metalife !

10 Trois exemples Métapopulations:Patches Flux de graînes entre patch Epidémiologie:Hôtes Flux de parasites entre hôtes Espèces invasives Patches de végétation résidente Invasion par des espèces exotiques

11 Cadre géométrique commun Patches :Dynamique résidente Croissance des plantes Dynamique de la végétation Cycle de vie de lhôte Flux :Flux dinformationPerturbation de la entre patch dynamique résidente

12 Processus de contact

13 1.Processus de contact 2. Modèles « interacting particle models » plus généraux Géometrie et processus locaux

14 Processus de contact sur un graphe

15 Approximation « champ moyen »

16 Métapopulations, Epidémiologie, Modèles « champ moyen »

17 Ecarts au champ moyen

18 Rupture Champ Moyen

19 PC sur un graphe Distribution des degrés Coefficient dagrégation Diamètre Quelques caractéristiques dun graphe Géométrie du graphe Processus

20 Modèles « Interacting particles » vers des modèles moins simples mais tjs accessibles

21 S Modèles « SIR » IR

22 Interactions entre une plante et un parasite fongique Connaissances biologiques de ces interactions Une diversité dinteractions et de filtres - gène pour gène : réaction hypersensible - résistance partielle : protège de linfection en limite les effets - tolérance :réduit ou élimine les effets de linfection voir Jokela, Schmid-Hempel & Rigby, Oïkos, 2000 Roy & Kirchiner, Evolution, 2000 Segarra, Phytopath., 2005

23 Modèle pour lhyperparasitisme SIR H

24 Communautés de parasites 0 a c db

25 Towards closed forms?

26 Elimination du paramètre à léquilibre

27 Forme « fermée » à léquilibre Champ moyenApproximation par paires

28 Ajustement de la « forme fermée » (k. avec

29 Ajustement Champ moyen Paires

30 Est-ce que la forme fermée fonctionne aussi en régime transitoire ? Question à 1 000

31 Question plus générale Comment fermer le systèmes durant le régime transitoire ? Différentes fermetures type MF, PA, Bethe, etc …. Extrapoler la fermeture empirique à léquilibre Trajectoire rectiligne dans le plan (ρ,ξ)

32 Fermeture par trajectoire rectiligne On connaît létat de départ le paramètre On calcule(ρ 0, ξ 0 ) On calcule létat déquilibre (ρ*, ξ*) par la fermeture empirique On « ferme » le régime transitoire par lhypothèse que la trajectoire dans le plan (ρ,ξ) est une droite

33 En équation …

34 Ligne droite Equilibre

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42 Questions à étudier 1.Mieux comprendre la transition ligne droite forme fermée 2.Quelle équation de la forme fermée ? ici, polynôme empirique 4 ème degré loi allométrique de puissance ? 3.Quel comportement sur un réseau 2D ? sur un graphe non régulier ?

43 Pourquoi ça marche à peu près ?

44 Remerciements Mercedes Pascual Marie-Laure Desprez-Loustau Cécile Robin


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