1 Bornes supérieures pour le TV-Break Packing Problem Thierry Benoist BOUYGUES e-lab

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1 1 Bornes supérieures pour le TV-Break Packing Problem Thierry Benoist BOUYGUES e-lab tbenoist@bouygues.com

2 2 Plan Le TV-Break Packing Problem –Modèle –Panorama des méthodes de résolution Calcul de bornes supérieures –Faiblesses de la relaxation continue –Relaxation lagrangienne des contraintes de capacité –Branch and Bound Conclusion

3 3 Les chaînes … LCI Eurosport TF6 TV Breizh Télétoon / Cartoon Network Odyssée

4 4 …thématiques Chaque chaîne possède une cible –CSP+ / Urbain –Enfant 4-10 –Senior … et une audience très différente …

5 5 Écrans publicitaires dune semaine constituer le plus grand nombre possible de paquets de 30 messages collectant plus de 200000 spectateurs (« contacts ») 230 000 240 000 210 000 270 000 200 000

6 6 Packages Nombre de messages fixé Contraintes de couverture de la semaine (zones) 30 messages21 messages Nombre min de contacts garanti

7 7 Flot Affectation des spots: packages écrans Package C Lundi 7h 6 Dimanche 23h15 3 Mardi 8h40 3 Mercredi 9h55 4 Dimanche 20h40 4 Dimanche 21h20 4 Dimanche 22h15 5 Package A Package B 18 24 21 Ecrans disponibles Nombre de messages Capacité (durée / 30s) AUDIENCES PREVUES 8500 9200 7800 15500 21000 19800 12100 AUDIENCES REQUISES 210000 160000 215000 210000 Ce que la régie souhaite offrir à la vente

8 8 Complexité Cas particulier : 3-PARTITION (NP-difficile au sens fort) SmSm 1 1 1 1 1 1 1 S1S1 S2S2 S3S3 3 3 3 3 poids w1w1 w2w2 w3w3 W 3m-3 W 3m-2 W 3m-1 w 3m __ w 3 3 3 3

9 9 Flot Contraintes de répartition hebdomadaire Pack C Lundi 7h 6 Dimanche 23h15 3 Lundi 8h40 3 Lundi 9h55 4 Dimanche 20h40 4 Dimanche 21h20 4 Dimanche 22h15 5 Pack A Pack B 18 24 21 Available breaks Nombre de messages Capacité (durée / 30s) [14,16] [5,7] Contraintes de zone

10 10 Modèle linéaire zone = sous- ensemble décrans Sans chevauchement Nombre de spots Capacité de chaque écran Contraintes de zone Contrainte daudience Objectif = maximiser le revenue total

11 11 Méthodes de résolution Programmation Linéaire en Nombres Entiers (Xpress-MP) –Efficace pour des instances petites ou moyennes, –Pas de solution de tout pour de nombreuses instances Heuristique Lagrangienne ou techniques darrondis –Robuste, résultats satisfaisants Branch and Move –[Benoist & Bourreau, 2003] –Combinaison de Programmation par Contraintes et de Recherche Locale –Meilleurs résultats sur la plupart des instances (en particulier sur les grandes) Pourrions nous avoir des résultats encore meilleurs ?

12 12 Bornes supérieures ?

13 13 Faiblesse du modèle linéaire 1 2 Package A Package B 1 1 Nombre de messages Capacité (durée / 30s) AUDIENCES PREVUES 3 1 AUDIENCES REQUISES 2 2 0.5 Meilleure solution continue Y A +Y B =2 Alors quun seul des packages peut être satisfait Pour chaque package: 2Y A (3X A lun +X A mar ) Y A X A lun + 0.5 Lundi 7h Mardi 7h

14 14 Polyèdre X B lun Y A +Y B X A lun 2 1 1 1 X A lun +X B lun 1 (0.5,0.5,2) Points entiers

15 15 Quelles équations relâcher? Sous-Problème: Max cost flow i Facilement « primalisable » Propriété dintégralité [Geoffrion74]: Borne égale à la relaxation continue

16 16

17 17 Relaxation Lagrangienne max f(x) s.t. x X f

18 18 Relaxation Lagrangienne f max f(x) s.t. x X Ax b Propriété dintégralité

19 19 Quelles équations relâcher? N sous-Problèmes: Sac à dos multidimensionnel (NP-dur) j Primalisation plus délicate Borne strictement meilleure que la relaxation continue

20 20 Borne lagrangienne X B lun Y A +Y B X A lun 2 1 0.5 1 1 X A lun +X B lun 1

21 21 Borne lagrangienne X B lun Y A +Y B X A lun 2 1 0.5 1 1 X A lun +X B lun 1 (0.5,0.5,1)

22 22 Sous-problèmes lagrangiens

23 23 Sous-problèmes lagrangiens 1 er cas: Y i =0 –minimiser j X ij sous les contraintes de couverture de semaine –Min Cost Flow Lundi 7h Dimanche 23h15 Lundi 8h40 Lundi 9h55 Dimanche 20h40 Dimanche 21h20 Dimanche 22h15 Pack A 21 [14,16] [5,7] 1 j 2

24 24 Sous-problèmes lagrangiens 2 ème cas: Y i =1 –minimiser j X ij sous les contraintes de couverture de semaine et les contraintes daudience Lundi 7h Dimanche 23h15 Lundi 8h40 Lundi 9h55 Dimanche 20h40 Dimanche 21h20 Dimanche 22h15 Pack A 21 [14,16] [5,7] 1 j 2 AUDIENCES PREVUES 8500 9200 7800 15500 21000 19800 12100 Sil ny avait que les contraintes daudience: min j X ij s.t. a j X ij r i (0-1 knapsack) Programmation dynamique (état=[0, r i ]) Avec les contraintes de taille et de zone létat devient [0, r i ]x[0, q i ]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ]x…x[0, q ik max ]

25 25 L'état peut être compressé Pack A 21 [14,16] [5,7] 1 j 2 [0, r i ]x[0, q i ]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] Pour chaque écran, seuls les compteurs des zones englobantes sont actifs

26 26 L'état peut être compressé Pour chaque écran, seuls les compteurs des zones englobantes sont actifs Pack A 21 [14,16] [5,7] 1 j 2 [0, r i ]x[0, q i ]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[0, q i ]x[14,16] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[0, q i ]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[21,21]x[0, q i1 max ] x[5,7]

27 27 L'état peut être compressé Pack A 21 [14,16] [5,7] 1 j 2 [0, r i ]x[14,16]x[14,16] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[0,16]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[14, q i ]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] [0, r i ]x[0,16]x[0, q i1 max ] x[0, q i2 max ] Le domaine du compteur dune zone est restreint par les compteurs des sous-zones incluses (propagation) [0, r i ]x[21,21]x[0, q i1 max ] x[5,7] Avec cette règle le nombre total de transitions possibles dans ce programme dynamique nexcède jamais 10 9 tractable En pratique Xpress-MP résout ce problème en quelques secondes

28 28 Sous-problème lagrangien Pour chaque package nous calculons –Opt i (Y i =0): min flow –Opt i (Y i =1): multi-dimensionnal knapsack –… et nous choisissons le plus grand – bornes supérieures meilleures que les bornes linéaires pour 10 instances sur 20 (-2% à -12%) –Mais cela prend 15mn au lieu de 1mn Les méthodes de faisceaux peuvent être jusquà 10 fois plus rapide (quun algorithme de sous-gradient naïf) pour résoudre le problème dual dans ce cas Initialiser j à /a j est un bon point de départ (évite lemploi inutile décrans précieux) Dualis by (Triadou et al, 2003)

29 29 Cercle vertueux Connaissant cette borne ub nous pouvons forcer g i Y i ub –knapsack : maximiser [opt i (1)-opt i (0)] + Y i –au lieu de choisir le meilleur pour chaque package (individuellement) – écart de dualité moyen réduit dun tiers

30 30 f

31 31 f

32 32 f

33 33 f Optimal integer point

34 34 Branch and Bound Finalement nous pouvons effectuer un branch and bound restreint aux variables Y i –A chaque noeud nous coupons la branche si la borne lagrangienne est plus petite que la meilleure solution connue –Nous propageons la contrainte linéaire g i Y i > lb ( fixe certains Y i =1) –Les regrets Opt i (Y i =1) - Opt i (Y i =0) peuvent améliorer le filtrage ( fixe certains Y i =0 quand pureLagBound+ Opt i (Y i =1) - Opt i (Y i =0) < lb Comparé au branch and bound équivalent par PLNE –Meilleures bornes supérieures pour 7 instances –Gap moyen: 1.7% vs. 2.0% –CPU : 3 heures vs. 5 mn

35 35 Relaxation Lagrangienne Dualiser les contraintes de capacité: Pack C Lundi 7h 6 Dimanche 23h15 3 Lundi 8h40 3 Lundi 9h55 4 Dimanche 20h40 4 Dimanche 21h20 4 Dimanche 22h15 5 Pack A Pack B 18 24 21 [14,16] [5,7]

36 36 Génération de colonnes Choisir un ensemble faisable décrans (colonne) pour chaque package Pack C Lundi 7h Dimanch e 23h15 Lundi 8h40 Dimanc he 20h40 Dimanc he 21h20 Dimanc he 22h15 Pack A Pack B Selectionner la colonne entrante est exactement le problème précédent –Deux familles de colonnes, celles avec Y i =1 et celles avec Y i =0 La borne est exactement la même –Mais obtenue après convergence

37 37 Génération de colonnes

38 38 Contraintes associées

39 39 Conclusions Bornes supérieures –9 instances sont fermées (parmi 20) –Gap maximum = 7% Relaxation lagrangienne des contraintes de capacité –Meilleur polyèdre (que le modèle linéaire) –Améliorations itératives (« cercle vertueux ») –Branch and Bound limité avec filtrage par coûts réduits