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Chap 1 Grammaires et dérivations. Une grammaire algébrique (context free) est donnée par : un alphabet terminal A un alphabet de variables (non terminal.

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2 Chap 1 Grammaires et dérivations. Une grammaire algébrique (context free) est donnée par : un alphabet terminal A un alphabet de variables (non terminal V) un ensemble de règles de production R de la forme avec V et (V A)* On a donc R Vx(V A)* On note la grammaire G = (V.A.R) 1

3 La grammaire algébrique est utilisée pour engendrer un langage formel en utilisant des dérivations. Définition Soit, (V A)* On dit que dérive ( ) ssi = 1 2, = 1 2 et que est une règle de la grammaire (. ) R. 2

4 Pourquoi grammaire ? Chaque langage a des règles. Grammaire donne une spécification syntaxique précise facile à comprendre A partir de grammaire on peut facilement construire un analyseur syntaxique qui pourra déterminer si le programme source est correct. Grammaire bien définie donne une structure au langage de programmation très utile pour la traduction et pour détection des erreurs. Si le langage évolue c'est bien plus facile d'ajouter des nouvelles constructions si l'implémentation existante est basée sur la description grammaticale du langage. 3

5 La dérivation commence toujours par le symbole de début (start symbol ou axiome en français) et on remplace de façon répétée le non-terminal à gauche d'une règle par la partie droite de cette règle de production. 4

6 Ex. (*) expr expr op expr expr (expr) expr -expr expr id op + op - op * op / A={id, +, -, *, /, (, )} V={expr, op} expr est start symbol 5

7 La signification : expr -expr signifie qu'une expression précédée par - est aussi une expression. Cette production permet de générer des expressions plus complexes à partir d'expressions plus simples. On peut remplacer expr par -expr. On peut décrire ça en écrivant expr - expr, c.a.d. expr dérive -expr. La production expr (expr) nous montre qu'on peut remplacer une occurrence de expr dans n'importe quelle chaîne des symboles de grammaire par (expr). Par exemple, E*E (E)*E ou E*E E*(E). On peut prendre E et appliquer des productions dans n'importe quel ordre pour obtenir une séquence de remplacements. 6

8 Ex. E -E -(E) -(id). Une séquence comme ça s'appelle une dérivation de -(id) de E. Cette dérivation montre qu'une chaîne –(id) est une expression valide. 7

9 Manière plus abstraite A si A est une production de grammaire et et sont des chaînes arbitraires. Si on a 1 2 … n. On dit que 1 dérive n. Symbole signifie dérive immédiatement (dans un seul étape). * Si on veut dire dérive en 0 ou plus étapes on utilise Alors : 1) pour + 2) Si et alors + dérive en un ou plus étapes 8

10 Définition de L(G) : langage généré par G. Chaînes contenues dans L(G) peuvent contenir seulement des symboles terminaux de G. La chaîne de terminaux w L(G) ssi S w. w est une phrase de G; Le langage qui peut être généré par G est un langage algébrique. Si 2 grammaires génèrent le même langage elles sont équivalentes. 9

11 Ex 1. -(id+id) est une phrase du langage engendré par G parce qu'il y a une dérivation : E -E -(E) -(id+E) -(id+id). 10

12 Ex 2. G : a b ou pour simplifier a + b avec A={a, b} et V = { }. Le langage engendré par est l'ensemble des expressions arithmétiques en notation polonaise préfixe. a : unique symbole d'opérateurs et b : unique symbole de variable. L G ( ) ={b, abb, aabbb, ababb, …} 11

13 Ex 3. H : a b A={a, b}V={ } Le langage engendré par H est l'ensemble des expressions bien parenthésées avec a : parenthèse ouvrante, b : parenthèse fermante. 12

14 Les automates finis correspondent à une classe particulière de grammaires algèbriques : ce sont les grammaires linéaires dont toutes les règles sont de la forme a avec V, a A ou bien. Considerons un automate fini A=(Q, I, T, F) et la grammaire G ayant comme ensemble de variables l'ensemble Q des états de A et comme règles p aq pour toutes les flèches (p.a.q) de A et des règles t pour tout t T. Le langage engendré par la grammaire G à partir des variables de I est égal au langage reconnu par l'automate. On a une dérivation p wq dans G ssi un chemin p q, étiquetté par w dans A. (par recurrence sur la longueur de w). 13

15 Réciproquement, si G = (V, A, R) est une grammaire linéaire on construit A=(Q,i,T,F) qui reconnaît le langage engendré par G en prenant Q=V, i=start, F={(.a. )| a } et T={ V| } a b b a reconnaît le langage a + b b + a + 14

16 Pourquoi utiliser les expressions rationnelles pour définir le syntaxe lexicale d'un langage ? Les règles lexicales sont souvent très simples, et alors pour les décrire on n'a pas besoin d'une notation aussi puissante que grammaires Expressions rationnelles donnent une notation pour décrire les lexèmes plus facile à comprendre que des grammaires. 15

17 Les analyseurs lexicales plus efficaces peuvent être construits automatiquement des expressions rationnelles que des grammaires arbitraires. Quand on sépare la structure syntaxique d'un langage dans les parties lexicales et non-lexicales on obtient un moyen efficace pour modulariser un compilateur. On obtient deux modules de taille possible à gérer. 16

18 Un langage formel L est un langage algébrique (context-free) si une grammaire algébrique G telle que L=L G ( ). beaucoup de langages algébriques qui ne sont pas reconnaissables par des automates finis. Ex. a b + Supposons que P soit reconnu par un automate A=(Q, I, R, F). Pour n 0 le mot a n b n est bien parenthesé, donc un chemin i n p n t n. p n est un état ou on arrive après la lecture de a n. Si n<>m, p n <> p m puisque a m b n n'est pas bien parenthesé et si p n = p m on ait un chemin i n p n = p m t n. D'ou la contradiction, car A doit avoir le nombre fini d'états par définition. 17

19 Revenons à dérivation permettant à reconnaître une phrase -(id+id) dans la grammaire des expressions arithmétiques. Gauche : E -E -(E) -(E+E) -(id+E) -(id+id) (1) Droite : à partir de -(E+E) -(E+id) -(id+id).(2) L'ordre de remplacement est différent. Pour comprendre certains analyseurs il faut considérer des dérivations ou à chaque moment de dérivation on remplace juste le non-terminal le plus à gauche. On appelle une dérivation comme ça – dérivation gauche. En utilisant des conventions de notation on peut marquer chaque étape wA w ou w consiste juste de terminaux A est une production et est une chaîne des symboles de grammaire. Dérivation droite est définie de façon analogue. 18

20 Arbres de dérivation (parse trees) C'est une représentation graphique pour une dérivation qui filtre le choix de remplacement. A chaque étape de dérivation il y a 2 choix à faire. Il faut choisir quel non-terminal on veut remplacer et après avoir fait ce choix, il faut choisir quelle alternative on veut utiliser. 19

21 Les étapes de construction pour -(id+id). E EE -E- E - E ( E ) ( E ) E + E EE En lisant la frontière on obtient la phrase. - E - E Les feuilles sont étiquetées par des terminaux. ( E )( E ) E + E E + E id id id 20

22 Quand même il ne faut pas penser que chaque phrase donne nécessairement un seul arbre ou une seule gauche ou droite dérivation. On prend une phrase id + id*id. Il y a 2 dérivations gauches distinctes. E E+E E E*E E id+E E + E E+E*E E * E id+E*E id E * E id+E*E E + E id id+id*E id id id id id+id*E id+id*E id+id*id id+id*id La première reflète la précédence normale des opérateurs. 21

23 Ambiguité : Une grammaire qui produit plus qu'un seul arbre de dérivation pour une phrase quelconque s'appelle une grammaire ambiguë. Pour beaucoup d'analyseurs c'est préférable de pouvoir transformer une grammaire ambiguë dans une grammaire non-ambiguë. 22

24 Exemple de transformation – élimination d'ambiguité. "dangling else". stmt if expr then stmt | if expr then stmt else stmt |other other – toute autre instruction. 23

25 if E1 then S1 else if E2 then S2 else S3. stmt ifexprthenstmtelse stmt E1S1 if expr then stmt else stmt E2S2 S3 24

26 if E1 then if E2 then S1 else S2. (*) a) stmt ifexprthenstmt E1 if expr then stmt elsestmt E2 S1S2 25

27 b) stmt ifexpr thenstmtelsestmt E1 E2 if expr thenstmt E2 S1 26

28 Dans tous les langages on préfère (a). 27

29 Règle : Faites correspondre chaque else avec le plus proche "unmatched" then. On peut incorporer cette règle directement dans la grammaire. stmt matched_stmt | unmatched_stmt matched_stmt if expr then matched_stmt else matched_stmt | other unmatched_stmt if expr then stmt | if expr then matched_stmt else unmatched_stmt 28

30 stmt unmatched_stmt ifexprthenstmt E1matched_stmt ifexprthenmatched_stmtelsematched_stmt E2otherother S1S2 29


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