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IN302 – Chapitre 3 Plus courts chemins. Existence De à : 1 3 4 5 2 6 7 8 9 2 6 6 1 3 2 -6 18 pas de chemin pas de plus court chemin.

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1 IN302 – Chapitre 3 Plus courts chemins

2 Existence De à : pas de chemin pas de plus court chemin

3 Existence pas de chemin pas de plus court chemin De à :

4 Existence chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin : (1,2,3,4) De à :

5 Existence chemin : (3,4,6,5) longueur : De à :

6 Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur :

7 Existence De à : chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur :

8 Existence De à : PAS DE PLUS COURT CHEMIN

9 Graphe des plus courts chemins

10 En rouge : x est la longueur dun plus court chemin du sommet i=0 au sommet x

11 Graphe des plus courts chemins Comment caractériser, grâce aux valeurs de les arcs qui font partie de plus courts chemins dans (E,, l ) à partir de i ?

12 Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : y x l (u)

13 Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : y x l (u)

14 Graphe des plus courts chemins c est un plus court chemin dans (E,, l ) à partir de i si et seulement si : c est un chemin dans (E, )

15 Arborescence des plus courts chemins (E,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E,, l ) de racine i si : (E,A) est une arborescence de racine i, et E = {x E, x } (E,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E,, l )

16 Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

17 APCC (relative au sommet 1)

18 Arborescence des plus courts chemins = APMin ? APMin

19 Trouver un plus court chemin de i=0 à d=

20 Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de i ?

21 Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6 Partir de i ?

22 Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

23 Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

24 Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

25 Trouver un plus court chemin de i=0 à d= Partir de d !

26 Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6 x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

27 Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

28 Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

29 Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

30 Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

31 Trouver un plus court chemin de i à d x = d ; C = (x) Tant que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C

32 Algorithme de Bellman

33 Algorithme de Bellman : exemple i =

34 π0π0 π1π1 k i =

35 π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

36 π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

37 π0π0 0 π1π1 0 k 1 0 i =

38 π0π0 0 π1π1 0 7 k 1 0 i =

39 π0π0 0 π1π1 0 7 k 1 0 i =

40 π0π0 0 π1π k 1 0 i =

41 π0π0 0 π1π1 078 k

42 π0π0 0 π1π1 078 k

43 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k

44 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k

45 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) =

46 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(,

47 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(, 7+2,

48 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 k π 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) =

49 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) = 9

50 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) =

51 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(,

52 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(, 7+1,

53 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 9 k π 2 (5) = min(, 7+1, +3) =

54 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (5) = min(, 7+1, +3) = 8

55 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) =

56 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8,

57 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8, -2,

58 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 89 k π 2 (3) = min(8, -2, 0+8) =

59 π0π0 0 π1π1 078 π2π2 889 k X 2 (3) = min(8, -2, 0+8) = 8

60 π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (4) = min(, +2, 7+4) = 11

61 π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (2) = min(7, 0+7, 8+2) = 7

62 π0π0 0 π1π1 078 π2π k π 2 (1) = min(0) = 0

63 π0π0 0 π1π1 078 π2π k

64 π0π0 0 π1π1 078 π2π k

65 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 k

66 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 k

67 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 0 k

68 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 0 k

69 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 07 k

70 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 07 k

71 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 076 k

72 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π3 076 k

73 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

74 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

75 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

76 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

77 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

78 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π k

79 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 k

80 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 k

81 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π4 8 k

82 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π k

83 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π k

84 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π5 k

85 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

86 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

87 π0π0 0 π1π1 078 π2π π3π π4π π5π k

88 Résultat

89 Plus court chemin de 1 à 3 ?

90 Exécuter Bellman (i = 1)

91 Algorithme Circuit-Niveaux

92

93 N 0 i 0 E0E0

94 N 0 i 0 x E0E0

95 N 0 i 0 x 1 E0E0

96 N 0 i 0 x 1 E0E0 1 2

97 N 1 i 0 E0E0 2

98 N 1 i 0 E0E0 E1E1 2

99 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 2

100 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 2

101 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2

102 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2

103 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y

104 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y

105 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y E1E1 2 2

106 N 0 i 0 E0E0 x 1 y E1E1 21 2

107 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 2

108 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 2

109 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 x 3 2

110 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y 2 2

111 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y

112 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 E2E2 x 3 y 2 0 E2E2 3 2

113 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E2 35 2

114 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

115 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

116 N 0 i 0 E0E0 0 E1E1 21 x 3 y 2 0 E2E

117 Ni E0E0 0 E1E1 1 x 3 y 2 0 E2E2 32 2

118 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 2

119 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 2

120 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 2

121 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 4 2

122 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 4 1 2

123 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 45 2

124 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y

125 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y 456 2

126 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2 y

127 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 x 2 y 456 E3E3 4 2

128 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 x 2 y 456 E3E3 43 2

129 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 2

130 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2

131 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6

132 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6 y 4

133 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4 2 x 6 y 4 0

134 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 42 E3E3 53 E4E4 2 x 6 y 4 E4E4

135 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5

136 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5 0

137 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 4 E4E4 5 E4E4 6

138 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E x 6 y 45 E4E4 4

139 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4

140 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5

141 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4

142 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4 y 7

143 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 4 y 7 1

144 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 5

145 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7

146 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7 0

147 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 x 45 y 7 E5E5

148 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 x 45 y 7 E5E5 7

149 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 x 45 y 7 E5E5 75

150 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 75

151 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E E4E4 4 E5E5 75

152 E0E0 E1E1 E2E2 E3E3 E4E4 E5E5 Résultat


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