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1 Description et estimation Étude dune variable numérique, Étude dune moyenne.

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1 1 Description et estimation Étude dune variable numérique, Étude dune moyenne

2 2 Cas Rola-Cola Boisson préférée 1 = Rola-Cola 2 = Koka-Cola Achat préalable de Rola-Cola 1 = oui 2 = non Goût Sucre 1 = oui 2= indifférent 3 = non n = 40 personnes

3 3 Définitions zPopulation : Ensemble des individus (objets de létude) auxquels on sintéresse. N = Taille de la population zÉchantillon : Une partie de la population n = Taille de l échantillon zÉchantillon représentatif : -Chaque individu de la population a exactement la même probabilité dappartenir à l échantillon. -La taille n de léchantillon est suffisamment élevée. Elle dépend de lhomogénéité de la population et de la précision souhaitée.

4 4 Étude dune variable numérique X zUne variable numérique X prend des valeurs x 1,…, x i,…, x N sur une population et x 1,…, x i,…, x n sur un échantillon. zElle est résumée par des statistiques de tendance centrale (moyenne, médiane) et de dispersion (variance, écart-type). zLa dispersion de X est visualisée par la boîte-à- moustache et lhistogramme.

5 5 Moyenne et écart-type

6 6 Commentaire 1)Plus la taille n de léchantillon est grande, alors plus les chances que soit proche de sont élevées. 2)Plus lécart-type s est petit, alors plus les chances que soit proche de sont élevées.

7 7 Rola-Cola : Résultats statistiques

8 8 (x 1,…, x n ) * S2S2 Propriétés des estimations de et 2 Ensemble de tous les échantillons possibles (u 1,…, u n ) *

9 9 Médiane M zLa médiane M partage léchantillon ordonné en deux parties égales

10 10 Échantillon Rola-Cola ordonné Consommation de boisson NUMÉRO au cola ________ ____________ Consommation de boisson NUMÉRO au cola ________ ____________

11 11 Quartiles Q 1, Q 2, Q 3 zLes quartiles Q 1, Q 2, Q 3 partagent léchantillon ordonné en quatre parties égales Q1Q1 Q 2 = M Q3Q3 25%

12 12 Rola-Cola : Boîte-à-Moustache Minimum Q1Q1 Médiane Q3Q3 Maximum

13 13 Détection des observations atypiques (Outliers) La longueur de chaque moustache doit être inférieure à Exemple : Max = 13 (Obs n°12) remplacé par Max = 15

14 14 Rola-Cola : Boîte-à-moustache multiple La consommation de chips dépend de la boisson préférée. La consommation de boissons au cola ne semble pas dépendre pas du goût pour le sucre.

15 15 Rola-Cola: Histogramme

16 16 Rola-Cola : Graphique des histogrammes La consommation de chips dépend de la boisson préférée. La consommation de boissons au cola ne dépend pas du goût pour le sucre.

17 17 Rola-Cola : Graphique des histogrammes La consommation de chips dépend de la boisson préférée. La consommation de boissons au cola ne dépend pas du goût pour le sucre.

18 18 Loi normale (ou de Laplace-Gauss)

19 LAPLACE à Beaumont-en-Auge

20 20 Loi normale (ou de Laplace-Gauss)

21 21 Loi normale N(, ) Une variable aléatoire X suit une loi normale N(, ) si, pour toute valeur de x, Résultats : - Moyenne de X = - Variance de X = % des valeurs de X sont comprises entre et x

22 22 zSoit X la durée du trajet Paris-HEC à 7 heures du matin. zOn suppose que X suit une loi normale N(, ). zEn général, la durée du trajet est comprise entre 30 et 50 minutes. zDéterminer la moyenne et lécart-type. Exercice 1

23 23 Précision de lestimation Quel est lordre de grandeur de lécart entre et auquel on peut sattendre ? Quelle est la précision de lestimation de la moyenne de la population à laide de la moyenne empirique ?

24 24 Ensemble de tous les échantillons possibles (u 1,…, u n ) * (x 1,…, x n ) * S2S2 s2s2 Un résultat très utile

25 25 Loi de Student Si X N(, ) alors : suit une loi de Student à n-1 degrés de liberté [notée t(n-1)]. Gosset ( ) invented the t -test to handle small samples for quality control in brewing while working at Guiness in Dublin. He wrote under the name "Student".

26 26 zSoit X la consommation de boisson au cola. zLa population étudiée est disponible dans le fichier « rola-cola population.sav » zVisualiser lhistogramme et la loi normale associée à cette population. zOn suppose que X suit une loi normale N(, ). Donner les valeurs de et. zTirer un échantillon de taille 40. zCalculer la moyenne et lécart-type de léchantillon et la statistique t. Exercice 2

27 27 Fractile de la loi de Student Loi t(n-1) Calculer (Table 4) : - t (39) = - t ( ) = 1- =

28 Fractiles de la loi de Student

29 29 zIl y a (1- ) 100 chances sur 100 pour que lintervalle contienne, où est le fractile dordre de la loi de Student à n-1 degrés de liberté. zLa formule est exacte si X suit une loi normale. Sinon, cest une bonne approximation dés que n 30. Précision de lestimation de au niveau 1- Intervalle de confiance de la moyenne au niveau 1-

30 30 Rola-Cola : Consommation de boissons au cola

31 31 Précision de lestimation de par au degré de confiance 1 - La quantité est la précision de lestimation de par au degré de confiance 1 -. La précision est la demi-largeur de lintervalle de confiance.

32 32 Taille de léchantillon permettant dobtenir une précision souhaitée c au niveau de confiance 1 - n = taille de léchantillon à définir s= futur écart-type observé Problème : Trouver n tel que

33 33 Solution approchée On remplace dans la formule s par la dernière estimation disponible et par.

34 34 Rola-Cola : Graphique des intervalles de confiance La consommation de chips dépend de la boisson préférée. La consommation de boissons au cola ne dépend pas du goût pour le sucre.


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