PROJET PEPIMEP Réunion du thème TICE du vendredi 20 mai 2011 Brigitte Grugeon-Allys, LDAR Françoise Chenevotot-Quentin, LDAR Claire Cazes, LDAR Julia Pilet et Soraya Bedja, LDAR Elisabeth Delozanne, LIP6 Naïma El-Kechai, LIP6 Dominique Prévit, LIP6

1. Présentation générale Projet pluridisciplinaire LINGOT de 1996 à 2008 Projet pluridisciplinaire PépiMEP depuis 2009 Trois partenaires principaux Chercheurs en didactique des mathématiques (LDAR) Chercheurs en environnements interactifs d’apprentissage humain (LIP6, Paris 6)) Association Sésamath

PépiMEP Objectifs Concevoir et diffuser des ressources en ligne Pour gérer la diversité cognitive des élèves Pour favoriser leur réussite dans l’apprentissage de l’algèbre Enjeux Disséminer des résultats de recherches sur le diagnostic dans la base d’exercices en ligne de Sésamath Fournir aux enseignants des outils Pour gérer l’hétérogénéité des apprentissages en algèbre Pour organiser la différenciation de l’enseignement en fonction des besoins des élèves Méthodologie Démarche itérative de conception dans l’usage des ressources

Questions générales posées Côté élève Comment caractériser des profils des élèves en algèbre élémentaire? Côté enseignant Comment exploiter le profil de l’élève au niveau de la classe ? Comment prendre en compte la variété des profils pour différencier l’enseignement de manière « économiquement viable » ? Côté TICE : systèmes de ressources en ligne Comment implémenter le diagnostic et présenter les profils ? Comment proposer des exercices adaptés aux profils et faciliter leur usage ? Comment implémenter a priori des rétroactions pertinentes et adaptées à la variété des élèves ?

Cadre théorique Approche épistémologique et cognitive Champ conceptuel de l’algèbre élémentaire en fin de scolarité obligatoire Caractérisation des problèmes du domaine Caractérisation des objets et des système de représentations Modèle GTG de Kieran (Generational / Transformational / Global-meta level) de conceptualisation de l’activité algébrique Approche anthropologique Prendre en compte L’institution dans laquelle l’élève apprend Les praxéologies mathématiques Tâche diagnostique caractérisée par : Un type de tâche Des techniques attendues relativement aux éléments technologiques et théoriques visés Les cadres et registres de représentation La complexité des expressions en jeu Le niveau d’intervention des organisations mathématiques dans la tâche prescrite (Castela) Approche instrumentale

Difficultés d’usage du profil cognitif individuel Diagnostic individuel Profil cognitif individuel : description des principaux traits de l’activité algébrique des élèves selon 5 dimensions Description du profil peu adaptée aux pratiques habituelles des enseignants Profil individuel  Géographie de la classe Diagnostic collectif : stéréotypes Nouvelle modélisation pour organiser la différenciation des apprentissages dans la classe Stéréotype classe de profils équivalents regroupant des élèves pouvant travailler sur des situations d'apprentissages ayant les mêmes objectifs prioritaires d'apprentissage Classer un élève selon un stéréotype revient à lui attribuer un niveau sur une échelle de compétences

Stéréotypes en algèbre en 3 ème / 2nd UA : Usage de l’Algèbre (4 niveaux) Maîtrisé Adapté dans certains types de problèmes Non motivé et non compris Faible car démarches arithmétiques TA : Traduction d’une représentation Algébrique en une autre (3 niveaux) Traduction contrôlée Traduction sans appui sur la reformulation Traduction comme pour schématiser CA : Habileté en Calcul Algébrique (3 niveaux) Calcul intelligent et contrôlé Calcul technique basé sur des règles syntaxiques souvent en aveugle Calcul sans signification et sans priorités opératoires

2. Transfert du diagnostic Pépite dans la BEL de Sésamath Enseignants Le test Pépite est trop coûteux en temps Disposer d’un diagnostic rapide, valide et fiable Questions de recherche Peut-on réduire le nombre de tâches diagnostiques du test ? Quelles tâches diagnostiques faut-il retenir pour leur rôle prédictif ? Enseignants Le test Pépite est figé Disposer de plusieurs versions du test pour pouvoir effectuer le diagnostic à plusieurs moments de l’année et suivre l’évolution Questions de recherche Peut-on créer des clones des tâches diagnostiques du test ? Comment les construit-on ?

Description du test Pépite formulée en termes de praxéologies Test Pépite initial 22 tâches diagnostiques Test Pépite implémenté dans LaboMeP 10 tâches diagnostiques Types de tâche des programmes de collège et de seconde de calcul algébrique : développer ou factoriser des expressions algébriques, résoudre des équations du premier degré (ou s’y ramenant) de production d’expression, de formule ou de mise en équation pour traduire des relations entre variables selon les conditions de l’énoncé de traduction ou de reconnaissance de relations mathématiques d’un registre de représentation dans un autre de résolution de problèmes dans différents cadres (numérique, algébrique, géométrique, fonctionnel) en mobilisant l’outil algébrique pour prouver des propriétés, pour mettre en équation

Validité du transfert : analyse combinatoire Aso Darwesh (Thèse soutenue en 2010) Comparaison des stéréotypes obtenus (361 élèves) avec le test complet composé de 22 tâches par des combinaisons de 15 tâches Détermination des 13 tâches qui interviennent le plus souvent dans les meilleures combinaisons composées de 15 tâches Analyse didactique a validé la pertinence du choix de ces 13 tâches a estimé que leur nombre pouvait être réduit à 10 Comparaison des stéréotypes obtenus : égalité à 74% avec le test complet composé de 22 tâches avec le test réduit composé de 10 tâches

Validité du transfert : analyse didactique Test Pépite volontairement conçu avec beaucoup de redondances Exemple pour le type de tâche de production d’expression

Deux exemples de tâche de production d’expression Permet d’étudier si un élève sait exprimer l’aire d’un domaine plan par une expression algébrique L’analyse des réponses correctes ou erronées donne accès aux règles de traduction et/ou de transformation utilisées par les élèves pour passer d’une représentation géométrique à une écriture algébrique Permet d’étudier si un élève sait traduire algébriquement un énoncé donné en langage naturel L’analyse des réponses correctes ou erronées permet d’identifier le mode de traduction utilisée (reformulation ou non, schématisation) pour passer d’une relation mathématique exprimée en français vers une relation algébrique

Détermination des tâches à valeur prédictive importante Présence de tâches redondantes Avantage meilleure fiabilité du diagnostic Inconvénient test initial rarement complètement renseigné par les élèves le diagnostic doit alors être construit en dépit de l’absence de réponse de l’élève à des tâches particulièrement riches et informatives Analyse a priori des tâches du test initial mise en évidence des tâches redondantes mise en évidence des tâches qui ont une valeur prédictive importante

Démonstration des ressources de diagnostic implémentées dans LaboMeP Le test diagnostic composé de 10 tâches diagnostiques Expérimentations Classe de Françoise P. Classe de Fabrice M. Les profils des élèves La constitution des groupes Les parcours proposés aux élèves

3. Parcours différenciés d’apprentissage 1. Conception d’un modèle de parcours  Parcours différencié d’apprentissage : suite de tâches  destinée à des élèves de profils proches  construite à partir d’une analyse épistémologique, cognitive et didactique  centrée sur un thème spécifique  qui a pour objectif de faire évoluer les profils des élèves  Appui sur des organisations didactiques et mathématiques intermédiaires construites pour faire évoluer le profil des élèves  En lien avec la création d’une ontologie appuyée sur l’analyse didactique (Naïma El-Kechai) 2. Conception de situations informatisées d’apprentissage

Modèle didactique des parcours Regroupement des élèves en fonction des stéréotypes Des objectifs d’apprentissage liés au thème choisi Des nécessités d’apprentissage spécifiques aux groupes Exemple Thème : développer et factoriser autour des identités remarquables Objectifs 1 Donner du sens aux expressions 2 Déstabiliser les règles fausses 3 Motiver développement et factorisation 4 Donner du sens à plusieurs écritures équivalentes d’une même expression 5 Travailler les tâches techniques (dév/fact) à partir de la structure et du contrôle des calculs 6 Réinvestir dév/fact. dans un problème sur les grandeurs 7 Favoriser l’association des expressions algébriques à d’autres représentations

Modèle didactique d’exercice Plusieurs objectifs prioritaires d’apprentissage Un type de tâche T pour chaque objectif avec un jeu sur les variables didactiques Nature des expressions Complexité des expressions Registres mis en jeu Niveau d’intervention de T (t-convoqué, r-convoqué avec choix de la technique, r-convoqué sans choix de la technique) (Castela 2008) Une aide : cours, méthode, exercice résolu, coup de pouce, outils de conjecture ou de vérification Des rétroactions en vue de l’implémentation

T : Montrer que deux expressions du 2 nd degré sont/ne sont pas équivalentes Nature des expressions Jeu sur les variables didactiques Complexité des expressions Registres mis en jeu Niveau d’intervention de T : découpage de l’énoncé pris en charge dans l’énoncé 2 Enoncé 1 : A(x)=(x-1) 2 -4 B(x)=(x-3)(x+1) C(x)=x 2 -2x-3 Les expressions sont-elles égales pour tout x? Justifie. Enoncé 2 : A(x)=(x+2) 2 -4 B(x)=x(x+4) C(x)=9x-6 1.Calcule A, B et C pour x=2, x=3. Formule une conjecture. 2.Calcule A, B et C pour x=0. Confirmes-tu ta conjecture? Confirmes-tu ta conjecture avec le graphique (calculatrice) ? 3.Les expressions sont-elles égales pour tout x? Justifie.

Modèle informatique d’exercice (Naïma El-Kechaï) Un exercice est caractérisé par Composante (UA, TA, CA) Type de tâche genre de tâche objet Expression (niveau de difficulté) Cadre d’entrée et de sortie en jeu (numérique, algébrique, langage naturel, géométrique, grandeurs, graphique, fonctionnel) Nature (t-convoqué ou r-convoqué)

Exemple de modélisation informatique d’exercice Exemple Composante : TA Type de tâche : résoudre une équation du 2 nd degré à 1 inconnue Genre de tâche : résoudre Objet : équation du second degré Expression Cadre d’entrée : algébrique Cadre de sortie : numérique Nature Résoudre (x+1)(4x-1)-(x+1)(2x+1)=0(t-convoqué) Résoudre (2x+2)(4x-1)=(x+1)(2x+1)(r-convoqué)

Conception de situations informatisées d’apprentissage Conception d’interaction à partir de feedbacks immédiats et d’outils pour créer des milieux antagonistes ou alliés Enoncé Q1 : L’égalité 3(p + 2) = 3p + 2 est-elle vraie pour toute valeur de p? Q2 : Justification à partir d’un QCM Outil qui fait le lien entre tableau de valeur et représentation graphique des deux membres de l’égalité  Concevoir un ’’environnement coopératif’’ pour amener l’élève à revenir sur ses réponses

Conclusion et perspectives Validité du transfert du diagnostic Pépite dans la BEL de Sésamath Expérimentations complémentaires à plus grande échelle Parcours différenciés d’apprentissage Expérimentations du modèle didactique des parcours Modèle à la source de la conception de l’ontologie du domaine (Naïma El-Kechaï) Thèse de Soraya Bedja Etude des pratiques de différenciation des enseignants Création automatique de séances de différenciation dans LaboMeP

Exemples de tâches

Exemple de tâche de calcul algébrique Permet de repérer si un élève reconnaît la structure d’une expression et utilise les identités mises en jeu en fonction du but visé Dans le cas négatif, l’analyse didactique caractérise les règles erronées utilisées

Exemple de tâche de production d’expression Permet d’étudier si un élève sait exprimer l’aire d’un domaine plan par une expression algébrique L’analyse des réponses correctes ou erronées donne accès aux règles de traduction et/ou de transformation utilisées par les élèves pour passer d’une représentation géométrique à une écriture algébrique

Exemple de tâche de reconnaissance d’expression Permet de repérer si un élève reconnaît la structure des expressions et les règles de formation des écritures algébriques qu’il a mobilisées

Exemple de tâche de reconnaissance d’expression Le choix d’une justification donne accès au niveau de rationalité mis en jeu par les élèves : preuve pragmatique par l’exemple numérique, preuve algébrique ou preuve par injonction (il faut que...)

Exemple de tâche de résolution de problème Permet de tester la capacité des élèves à mobiliser l’outil algébrique pour produire une expression algébrique résultant d’un algorithme de calcul, puis prouver que l’expression obtenue est toujours égale à 7 La génération de l’expression donne accès au niveau de preuve mis en jeu (exemple numérique ou preuve algébrique), aux règles de traduction et de transformation utilisées pour développer et réduire l’expression

Exemples de profil cognitif

Profil cognitif individuel

Profil de Jules (élève de 2 nd )

Copies d’écran LaboMeP

Exercice 1 de LaboMeP

Bilan LINGOT dans LaboMep

LaboMep

Diagnostic LINGOT dans LaboMep

Diagnostic LINGOT et bilan individuel

Bilan personnel

FIN