Quelques point de repère pour élaborer une progression concernant la technique opératoire de la division euclidienne (CM1 et CM2) I Rappels pour l’enseignant a) Notion de division euclidienne Effectuer la division d’un entier naturel a par un entier naturel b non nul, c’est trouver les deux entiers q et r, appelés respectivement quotient et reste, qui sont représentés sur le schéma suivant : 0 b 2b a qbqb (q+1)b r q est tel que qb soit le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a r est égal à a - qb

b) Les deux sens de la division euclidienne Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des objets -la division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » (division-partition) -la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet » (division-quotition)

On veut partager équitablement 4237 bonbons entre 23 enfants. On peut chercher d’abord le nombre de chiffres du quotient. Ce n'est pas indispensable mais - ça évite de donner un quotient ayant un ordre de grandeur manifestement erroné - je pense que ça permet également de garder du sens (on sait mieux, je crois, à tout moment la taille des paquets de bonbons qu'on est en train de distribuer à chaque enfant) et il me semble donc que c'est une aide pour éviter certaines erreurs au moment où on met en œuvre la technique de la division elle-même. c) Rappels concernant la signification des différentes étapes de la technique posée traditionnelle

est plus petit que 23. On ne peut pas donner des paquets de 1000 bonbons à chaque enfant. millierscentainesdizainesunités 42 est plus grand que 23. On peut donc donner des paquets de cent bonbons à chaque enfant. centaines Le quotient sera donc un nombre à trois chiffres.

On cherche combien de paquets de 100 bonbons, on peut donner à chaque enfant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 =207 paquets de On peut donner 1 paquet de 100 bonbons à chacun des 23 enfants Après avoir donné 1 paquet de 100 bonbons à chaque enfant, il reste 1937 bonbons. paquets de 100 On a donné en tout 23 × 100 soit 2300 bonbons...

On cherche combien de paquets de 10 bonbons, on peut encore donner à chaque enfant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 = On peut encore donner 8 paquets de 10 bonbons à chaque enfant Après avoir donné 1 paquet de 100 bonbons puis 8 paquets de 10 bonbons à chaque enfant, il reste 97 bonbons paquets de On peut donc encore donner en tout 23 × 80 soit 1840 bonbons. paquets de 10

On cherche combien de bonbons, on peut encore donner à chaque enfant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 = On peut encore donner 4 bonbons à chaque enfant On a pu donner 184 bonbons à chaque enfant (le quotient est égal à 184) Il reste 5 bonbons (le reste est égal à 5) On peut encore donner 23 × 4 soit 92 bonbons bonbons isolés

II Proposition de progression (le découpage en séances n’est donné qu’à titre indicatif et devra, bien sûr, être adapté au niveau de la classe) a)Savoirs et savoir-faire utiles : - savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables - connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication - savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 16) b) Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle (1 séance) - On peut commencer par une situation de regroupement (« Combien de paquets ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ? - On peut continuer par une situation de partage (« Combien dans chaque paquet ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ?

- Problème que les élèves sont amenés à résoudre en utilisant des procédures personnelles Exemple : un géant qui fait des pas de 15 km part de son premier château pour aller vers son deuxième château distant de 3530 km. Combien de pas le géant doit-il effectuer pour atteindre ce deuxième château? La mise en commun permet de faire apparaître les différentes procédures utilisées par les élèves (procédure additive, procédure multiplicative, procédure soustractive, mixage de ces différentes procédures, …) On peut garder sous la forme d’affiches des traces des procédures utilisées de façon à pouvoir s’y référer lors des séances suivantes. c) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (2 ème séance) Elaborer progressivement la technique posée traditionnelle c’est s’intéresser parmi les différentes procédures utilisées pour résoudre le problème du géant, à la procédure soustractive qu’on va améliorer pour le rendre de plus en plus efficace. Remarque : on peut d’abord faire construire la table des multiples de 15 et demander d’utiliser cette table pour effectuer des calculs du type 5 × 15, 50 ×15, 500 ×15, 5000 ×15, … On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5 Remarque : Il semble préférable, au niveau mathématique d'avoir dès le départ une division avec reste pour ne pas donner une fausse image de la notion de division …et les élèves ne manquent en général pas d'imagination quand il s’agit de savoir si le géant arrivera à atteindre le château : le géant enclenche le frein, le géant se met à ramper... ;-)

On pourra, par exemple, arriver à une présentation de ce type : Le géant fait 235 pas Il lui reste encore 5 km à parcourir

Nouveau problème (problème avec une division-partition alors que le problème du géant était un problème de division-quotition) 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or. Combien auront-ils chacun ? d) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (suite) (3ème et 4 ème séances mais qui ne suivent pas nécessairement immédiatement la deuxième séance) On pourra reprendre une présentation des calculs analogues à celle vue au paragraphe précédent puis l’améliorer pour arriver à : × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = 216 On utilise la table des multiples de 24 pour donner le maximum de paquets de 100 pièces, puis le maximum de paquets de 10 pièces puis le maximum de pièces. On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6 [Là encore, il y a un reste … (à ajouter à la part du capitaine, à enterrer en prévision de jours plus difficiles, … ? ;-) ]

e) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (suite) (5 ème séance mais qui ne suit pas nécessairement immédiatement les précédentes et qui peut ne concerner que le CM2) - Travail sur le nombre de chiffres du quotient : Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver Technique posée traditionnelle : _ _ _

- Remarque : Il peut être éventuellement envisageable de travailler avec certains élèves la « technique dépouillée » mais il ne semble pas souhaitable d’exiger que tous les élèves sachent utiliser cette technique Merci à Jean-Georges Schiele pour ses apports. D. Pernoux