Grandeurs et mesures Hussein Sabra 23 mars 2012

1. Grandeurs

Quel est le plus grand rectangle? Aire, périmètre?

Distinction grandeur/objet Deux objets peuvent être à la fois de même grandeur et de grandeur différente

Grandeur Tout caractère d’un objet susceptible de variation chez cet objet, ou d’un objet à l’autre.

Différentes grandeurs  Des grandeurs non repérables  par exemple : la gentillesse  Des grandeurs repérables  par exemple : la température  Des grandeurs mesurables :  Relation d’équivalence  Relation d’ordre  Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y)  Multiplication telle que km(x) = m(kx)

Longueurs: périmètre d’une face longueur d’une arête, longueur de toutes arêtes (qui n’est pas la somme des périmètres des faces). Aire: aire d’une face aire totale (qui est la somme des aires de chaque face). Volume: à l’école: capacité, contenance au collège: volume angles masse Avec le cube

2. Pour comparer des grandeurs, on peut manipuler.

Comparaison directe

Comparaison indirecte

Comparaison en utilisant une transformation autorisée

3. Pour comparer des grandeurs, on peut mesurer.

Mesures  Pour mesurer une grandeur A, Il faut choisir une unité de grandeur U.  La mesure de A est le nombre réel x tel que A = x × U  Une mesure n’a pas de sens, s’il n’y pas référence à l’unité choisie.

Objets: segments,polygones,cercle surfaces solides secteurs angulaires Mesures: Nombre Grandeurs: longueur aire volume angle masse

De quoi parle-t-on ? 1.Paul et André ont acheté des chemises de même taille 2.Paul et André portent tous deux des chemises 42 3.Paul et André ont acheté la même chemise

De quoi parle – t- on ? 1.Le périmètre d’un carré est 4 fois la longueur de son côté. 2.Le périmètre du carré est de 8 cm 3.Repasser le périmètre du carré en rouge

4. l’exemple d’aire et mesure

Théorie des fonctions mesurables Henri-Léon Lebesgue (1875 – 1941). Œuvre : « Sur la mesure des grandeurs », 1915 Mesure des aires : Surface = S Fonction mesurable = µ µ : X  IR+  S1 et S2 disjoints  µ(S1U S2) = µ(S1)+µ(S2)  µ(S)≥0 pour tout S  µ est invariante par isométrie Propriété d’isométrie →l’aire ne dépend pas de la position dans le plan mais seulement de sa taille.

Calcul intégral et aire… f une fonction continue positive sur [a, b]. L’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites d’équation x=a et x=b.

Calcul intégral et aire… (2)

Dans un repère  contours orientés?