Qu’est ce que les mathématiques ?  Quels sont les apports positifs des mathématiques?  Quels sont les aspects négatifs de cette matière?  Pourquoi faire des maths ?

Qu’est ce que les mathématiques ? Nombres, figures, calcul, géométrie, algèbre, statistiques, probabilité, logique, abstrait, raisonnement, précision, … Beaucoup de mots viennent à l’esprit lorsqu’on évoque les mathématiques. Mais qu’est ce qui caractérise cette discipline au champ aussi vaste ? Qu’est ce que faire des mathématiques ? Et pourquoi en faire ?

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Les mathématiques ? Un langage  Définitions

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Les mathématiques ? Un langage  Définitions  Axiomes

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Les mathématiques ? Un langage  Définitions  Axiomes : Un axiome est une propriété admise qui semble souvent, dans une certaine mesure, évidente. Elle ne se démontre pas elle constitue une des hypothèses à partir de laquelle on va bâtir une théorie.

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions  Axiomes Exemple : 5ème axiome d’Euclide : Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions  Axiomes Exemple : 5ème axiome d’Euclide : Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions Démonstration Démonstration  Axiomes

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions Propriétés Démonstration Démonstration  Axiomes Théorèmes

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions Propriétés Démonstration Démonstration  Axiomes Théorèmes Les énoncés établis visent un caractère universel, général. Les énoncés établis visent un caractère universel, général.

Remarque : En modifiant les axiomes de départ on obtiendrait une tout autre théorie.

 C’est ainsi que Lobatchevski ( ) a bâti une géométrie non euclidienne. Il a modifié le cinquième axiome d’Euclide de la manière suivante : par un point extérieur à une droite donnée passe plus d'une droite parallèle.

Lobatchevski ( ) : par un point extérieur à une droite donnée passe plus d'une droite parallèle.

Géométries non euclidiennes Einstein (1879 – 1955)

Géométries non euclidiennes Einstein (1879 – 1955) Théorie de la relativité qui repose sur la courbure de l’espace.

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Définitions Propriétés Démonstration Démonstration  Axiomes Théorèmes Les énoncés établis visent un caractère universel, général. Les énoncés établis visent un caractère universel, général.

La caractéristique de l’activité mathématiques La démonstration

 Comprendre comment sont construits les théorèmes.  Cette compétence sera évaluée, notamment lors du bac.

Premières démonstrations de l’Histoire

 Au 6ème siècle avant J-C les pythagoriciens pensaient que tous les nombres pouvaient s’écrire sous forme de fraction irréductible (c'est-à-dire simplifiée au maximum)  Aujourd’hui cet ensemble de nombres est appelé : ensemble des nombres rationnels  Il est noté .

Les nombres réels    ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …}  ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …}  ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}  ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

Les nombres rationnels   ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …}  ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …}  ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}  ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

Premières démonstrations de l’Histoire  Le problème qui probablement conduit aux premières démonstrations est le suivant : Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ? Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ?

Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ?  Ce nombre peut être construit géométriquement puisque d’après le théorème de Pythagore c’est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté

Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ?  Ne trouvant pas de nombre rationnel satisfaisant cette condition une question a dû naturellement être posée :

Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ?  Ne trouvant pas de nombre rationnel satisfaisant cette condition une question a dû naturellement être posée :  et s’il n’était pas rationnel ?

Est-ce que le nombre positif qui élevé au carré donne 2 est rationnel?  On note ce nombre, démontrons qu’il est irrationnel en s’appuyant sur les pré- requis suivants :

Pré-requis  Connaissance de la multiplication et de la division.  Propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition. Et les identités remarquables.  Définition d’un nombre rationnel : r est un nombre rationnel s’il existe un entier a et un entier b non nul tels que  et tels que a et b ne possède pas de multiples communs (c'est-à-dire il n’existe pas d’entier n tel que a = n × a’ et b = n × b’ avec a’ et b’ deux entiers)

Pré-requis (suite)  Propriété : Si deux nombres sont égaux alors leurs carrés sont égaux.  Propriété : un nombre entier naturel est soit pair, soit impair.

Est-ce que le nombre positif qui élevé au carré donne 2 est rationnel?  On note ce nombre  Démontrons qu’il est irrationnel.

I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration.  Nous avons vu comment la démonstration tissait des liens entre les différents énoncés qui constituent une certaine théorie mathématique. Nous avons fait apparaître comment elle permettait la construction solide et inébranlable des notions mathématiques, notions universelles qui résisteront à l’épreuve du temps.

Qu’est ce que les mathématiques ?  Ainsi les mathématiques peuvent être vu comme un jeu de l’esprit qui développe la logique, la rigueur, l’esprit déductif. D’ailleurs Isocrate (436 av. J.- C. – 338 av. J.-C.) disait  « les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et une préparation à la philosophie. »  « les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et une préparation à la philosophie. »

Qu’est ce que les mathématiques ?  Cependant c’est aussi un travail qui peut se révéler dur, pénible voir décourageant.  Mais qui est alors, peut être, encore plus gratifiant lorsqu’il est accompli.

Le travail des mathématiques  La résolution d’un exercice, la démonstration d’une propriété peut donc être semée d’embûches. Pour atteindre la vérité il faudra, peut être se tromper, opposer des idées dans un débat au sein de la classe par exemple.  Cependant dans cet espace abstrait et rassurant que sont les mathématiques on sait qu’au final on parviendra à s’entendre.

Le travail des mathématiques  En mathématiques on s’interroge donc sur la vérité de propositions, d’ailleurs un autre exercice qui peut être proposé au BAC est le vrai - faux.

Le travail des mathématiques  En mathématiques on s’interroge donc sur la vérité de propositions, d’ailleurs un autre exercice qui peut être proposé au BAC est le vrai - faux.  Étant donné qu’une propriété mathématique est universelle elle s’applique à tous les cas sans exception. Une méthode pour prouver qu’une proposition est fausse est donc de trouver un cas pour lequel la proposition ne s’applique pas. On dit qu’on a trouvé un contre exemple.

Exemple de vrai -faux  Proposition 1 :

Exemple de vrai -faux  Proposition 1 : Imprécis, inexploitable Imprécis, inexploitable  Proposition 2 : Pour tout nombre réel

Exemple de vrai -faux  Proposition 1 : Imprécis, inexploitable Imprécis, inexploitable  Proposition 2 : Pour tout nombre réel FAUX FAUX

Exemple de vrai -faux  Proposition 3 :  Pour tout nombre réel

Vrai-faux  En testant des exemples cette proposition ne semble pas être contredite  En testant des exemples cette proposition ne semble pas être contredite

Vrai-faux  Cependant ces exemples, aussi nombreux soient-ils, ne démontreront jamais la proposition puisqu’elle énonce « pour tout nombre… »

Démontrons cette proposition 3 :  Pré requis :  Définition de la racine carré d’un nombre réel positif : Soit un nombre réel positif, la racine carrée de est le nombre positif dont le carré est égal à. On le note  Propriété : le produit de deux nombres réels de même signe (soit deux négatifs, soit deux positifs) est positif.

II. Les mathématiques et le réel. 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde.

 On notera bien que réel et mathématiques sont deux univers distincts.  le modèle mathématique n’est pas là pour traduire le réel dans son ensemble mais pour en éclairer une partie sous certaines hypothèses.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde. RÉEL Modèle MATHÉMATIQUE

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde. RÉEL Modèle MATHÉMATIQUE Modélisation Teste la cohérence du modèle

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde. RÉEL Modèle MATHÉMATIQUE Modélisation Teste la cohérence du modèle Utilisation du résultat donné par le modèle (à exploiter de façon pertinente par rapport au réel.)

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 1 Le problème du pantalon sur un étendage m Données : Le pantalon est au milieu et sa masse vaut m’=3Kg = ? Quelle masse m faut-il placer pour que le fil soit tendu?

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 1 Le problème du pantalon sur un étendage m=1,5kg m=3kg m=6kg Flèche pour 3kg m m’=3Kg En réalisant l’expérience on observe :

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 1 Le problème du pantalon sur un étendage m=1,5kg m=3kg m=6kg Flèche pour 3kg m Comment modéliser cette expérience pour mieux la comprendre et expliquer pourquoi le fil ne peut pas être parfaitement tendu? m’=3Kg

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Poulie + masse P M

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Poulie + masse P M

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Si le fil était parfaitement tendu on aurait : G milieu du segment [PM] PM

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Si le fil était parfaitement tendu on aurait : G milieu du segment [PM] Et doncD’où PM

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Si le fil était parfaitement tendu on aurait : G milieu du segment [PM] Et doncD’où PM Par conséquent le pantalon devrait avoir une masse nulle. Il est donc impossible de tendre parfaitement le fil

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Ne pas confondre le modèle et la réalité

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde. RÉEL Modèle MATHÉMATIQUE Modélisation Teste la cohérence du modèle Utilisation du résultat donné par le modèle (à exploiter de façon pertinente par rapport au réel.)

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Ne pas confondre le modèle et la réalité Dans le modèle mathématique même si on suspend un petit morceau de papier (très léger mais avec tout de même une masse) le fil ne sera pas parfaitement tendu.

Le problème du pantalon sur un étendage : Modélisation à l’aide des vecteurs Ne pas confondre le modèle et la réalité Dans le modèle mathématique même si on suspend un petit morceau de papier (très léger mais avec tout de même une masse) le fil ne sera pas parfaitement tendu. Pourtant, dans la réalité, on sait bien qu’on tendra le fil. On voit bien là les limites du modèle

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 2 Mouvement se réalisant en ligne droite Le modèle assez simple de la ligne droite est très utilisé en physique. Il peut par exemple décrire correctement le mouvement d’un train entre deux lieux.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 2 Mouvement se réalisant en ligne droite Le modèle assez simple de la ligne droite est très utilisé en physique. Il peut par exemple décrire correctement le mouvement d’un train entre deux lieux. Cependant, cela signifie-t-il pour autant que la Terre soit plate ?

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 2 Mouvement se réalisant en ligne droite A B C D A, B, C et D sont 4 points situés sur la planète Terre. Entre A et B le modèle de la ligne droite peut être acceptable. Ce n’est pas le cas entre C et D.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 3 Modèles de l’atome  A) Modèle de Bohr (1888 – 1962) qui localise les électrons sur des cercles

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 3 Modèles de l’atome  A) Modèle de Bohr (1888 – 1962) qui localise les électrons sur des cercles  Ce modèle assez simple permet de faire des calculs et d’obtenir des résultats.  Cependant ce modèle ne traduit pas toute la complexité du réel. Comme toute la physique dite classique, il a du mal à expliquer l’infiniment petit.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 3 Modèles de l’atome B) Modèle de Schrödinger (1887 – 1961) Depuis l’avènement de la physique quantique au 20ème siècle on sait qu’on ne peut pas localiser précisément un électron. En réalité sa trajectoire n’est pas un cercle. Depuis l’avènement de la physique quantique au 20ème siècle on sait qu’on ne peut pas localiser précisément un électron. En réalité sa trajectoire n’est pas un cercle. Dans ce modèle même si on ne sait pas exactement où se situe un électron on pourra néanmoins calculer la probabilité de sa présence.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Autres exemples  les modèles mathématiques qui permettent de modéliser l’ADN en biologie :  le théorème des chaînes de Markov ( ) pour son décodage,  la théorie des nœuds (branche de la topologie) pour sa géométrie.

1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Autres exemples  Mathématiques permettant de modéliser l’évolution du prix d’un action en bourse : les probabilités.  Louis Bachelier (1870 – 1946), fondateur des mathématiques boursières, avait déjà dit que «L’évolution du prix d’une action dépend d’un si grand nombre de facteurs qu’elle fluctue de manière aléatoire »

II. Les mathématiques et le réel. 2) Les mathématiques : un enrichissement pour le monde qui nous entoure.  Notre dernière partie traitera d’un exemple où ce sont les mathématiques qui vont directement modifier le réel à travers les applications qu’elles engendrent.

Mathématiques et compression numérique d’image : théorie de Fourier et JPEG, théorie des ondelettes et JPEG 2000, théorie des bandelettes et CodecID de Let it wave.

Mathématiques et compression numérique d’image :  L’objectif est de compresser en conservant une bonne qualité d’image. Image d’origine (74 ko) Image compressée (4 ko)

Mathématiques et compression numérique d’image : 3 concepts mathématiques, 3 formats. Fenêtres de Fourier JPEG Ondelettes JPEG 2000 Bandelettes Let it Wave

La compression JPEG (« Joint Photographic Expert Group »)  L’algorithme s’appuie sur la « Fast Fourier Transform » ou FFT

La compression JPEG (« Joint Photographic Expert Group »)  L’algorithme s’appuie sur la « Fast Fourier Transform » ou FFT  Qui prolonge le travail de Joseph Fourier ( ) permettant de transformer toute fonction en somme de fonctions périodiques (comme cosinus ou sinus).

La compression JPEG (« Joint Photographic Expert Group »)  Une des étapes de l’algorithme consiste à découper l’image en petits carrés, ce sont les fameux pixels que l’on voit bien sur l’image de droite précédente. Plus on compresse plus les petits carrés deviennent grands et plus on perd en qualité. On dit d’ailleurs couramment « que ça pixalise »

Mathématiques et compression numérique d’image : 3 concepts mathématiques, 3 formats. Fenêtres de Fourier JPEG Ondelettes JPEG 2000 Bandelettes Let it Wave

La compression JPEG (« Joint Photographic Expert Group »)  Il semble assez idiot de gaspiller de la mémoire pour remplir de petits carrés une image comme celle-ci dessous. Changement brutal de couleur

Mathématiques et compression numérique d’image : 3 concepts mathématiques, 3 formats. Fenêtres de Fourier JPEG Ondelettes JPEG 2000 Bandelettes Let it Wave

Les ondelettes et la compression JPEG  Jean Morlet (1931 – 2007) : Ingénieur chez ELF au début des années 1980

Les ondelettes et la compression JPEG  Jean Morlet (1931 – 2007) : Ingénieur chez ELF au début des années 1980  Alex Grossmann (Physicien, spécialiste de mécanique quantique né en 1930)

Les ondelettes et la compression JPEG  Jean Morlet (1931 – 2007) : Ingénieur chez ELF au début des années 1980  Alex Grossmann (Physicien, spécialiste de mécanique quantique né en 1930)  Yves Meyer (mathématicien né en 1939, il a reçu le prix Gauss en août 2010)

Les ondelettes et la compression JPEG  Jean Morlet (1931 – 2007) : Ingénieur chez ELF au début des années 1980  Alex Grossmann (Physicien, spécialiste de mécanique quantique né en 1930)  Yves Meyer (mathématicien né en 1939, il a reçu le prix Gauss en août 2010)  Ingrid Daubechies (née en 1954) et Stéphane Mallat (né en 1962)

Les ondelettes et la compression JPEG  Jean Morlet (1931 – 2007) : Ingénieur chez ELF au début des années 1980  Alex Grossmann (Physicien, spécialiste de mécanique quantique né en 1930)  Yves Meyer (mathématicien né en 1939, il a reçu le prix Gauss en août 2010)  Ingrid Daubechies (née en 1954) et Stéphane Mallat (né en 1962)  La FWT « Fast Wavelet Transform »

Les ondelettes et la compression JPEG  Grâce Stéphane Mallat l’analyse par ondelettes revient à prendre du recul par rapport à l’image et à en percevoir notamment certains contours.

Les ondelettes et la compression JPEG  Grâce Stéphane Mallat l’analyse par ondelettes revient à prendre du recul par rapport à l’image et à en percevoir notamment certains contours.  La FWT utilise des fonctions à variations brutales est bien adaptée aux images qui présentent des zones bien délimitées.

Les ondelettes et la compression JPEG  Grâce Stéphane Mallat l’analyse par ondelettes revient à prendre du recul par rapport à l’image et à en percevoir notamment certains contours.  La FWT utilise des fonctions à variations brutales est bien adaptée aux images qui présentent des zones bien délimitées.  En résumé on peut retenir que les petits carrés du JPEG sont devenus des carrés de taille variable dans le JPEG 2000.

Mathématiques et compression numérique d’image : 3 concepts mathématiques, 3 formats. Fenêtres de Fourier JPEG Ondelettes JPEG 2000 Bandelettes Let it Wave

Théorie des bandelettes et CodecID de Let it wave  Stéphane Mallat poursuivit l’aventure de la compression d’image  Invention du concept mathématiques des bandelettes  Création en 2001 de l’entreprise Let it Wave avec trois autres mathématiciens.

Théorie des bandelettes et CodecID de Let it wave  Les bandelettes sont des agrégations d’ondelettes, les unes derrière les autres, capables de suivre les frontières internes dans une image.  Elles s’adaptent ainsi à la géométrie de l’image.

Mathématiques et compression numérique d’image : 3 concepts mathématiques, 3 formats. Fenêtres de Fourier JPEG Ondelettes JPEG 2000 Bandelettes Let it Wave

Théorie des bandelettes et CodecID de Let it wave  Les bandelettes fonctionnent en exploitant les caractéristiques géométriques d'un certain type d'image elles sont donc particulièrement utilisées pour compresser les photos utilisées dans les passeports, les cartes d'identité, les cartes de santé, etc.

Théorie des bandelettes et CodecID de Let it wave  Grâce à cette nouvelle technologie 500 octets suffisent désormais pour stocker une photo d'identité couleur de bonne qualité.

MATHEMATIQUES  Désir de comprendre, d’expliquer.  Répondre aux questions de la science.  Créer des concepts et faire évoluer notre quotidien.  Comment passer à côté des mathématiques puisque presque tout ce qui touche aujourd’hui notre quotidien est l’objet d’une théorie mathématique ?