LA CINEMATIQUE La cinématique est l’étude du mouvement Chapitre 8 : Principe d’inertie et quantité de mouvement LA CINEMATIQUE La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent.

1. Référentiels et repères. Le référentiel est un solide qui sert de référence pour décrire le mouvement d’un point d’un autre solide. Exemple : une balle est lâchée dans un wagon qui est en mouvement par rapport à la gare. Pour l'observateur dans le wagon le mouvement de la balle est rectiligne. Pour l'observateur sur le quai la trajectoire de la balle est curviligne. La trajectoire, la vitesse et l’accélération d’un point dépendent du référentiel. A un référentiel sont associés : - un repère d’espace ( à une, deux ou trois dimensions) qui donne la position d’un point ; un repère de temps : une horloge permet de mesurer le temps qui s’écoule entre 2 dates, un instant est aussi choisi comme origine des dates.

2. Le vecteur position On étudie le mouvement de la balle par rapport à l’observateur dans le wagon. A un instant t au cours de la chute, la balle est en un point M. On munie l’espace d’un repère fixe par rapport à l’observateur. x y O M x et y sont les coordonnées du vecteur position ; ce sont des fonctions du temps yM xM

3. Le vecteur vitesse instantanée Etudions le vol d’un oiseau G1 G7 G2 G3 G6 G4 G5 Des photos ont été prises à intervalles de temps réguliers =0,25s. Si on les superpose, on obtient une chronophotographie. On suit la trajectoire du centre de gravité (ou d’inertie) de l’oiseau.

3. Le vecteur vitesse instantanée Position de l’oiseau à des intervalles de temps  =0,25s G1G3=4,4cm =4,4.10-2m t3-t1=t=2  =0,5s donc v2=4,4.10-2/0,5=8,8.10-2 m.s-1 G3G5= =4,5.10-2m G1 t5-t3=t=2  =0,5s donc v4=4,5.10-2/0,5=9.10-2 m.s-1 G7 Valeur instantanée des vitesses ? G2 v2=8,8.10-2 m.s-1 G3 G6 G4 G5 v4=9.10-2 m.s-1

3. Le vecteur vitesse instantanée G1 G7 En G2 ? G2 v2=8.10-2 m.s-1 G3 G6 G4 G5 On trace la tangente à la trajectoire en G2. longueur Le vecteur est orienté dans le sens du mouvement. Sa longueur dépend de l’échelle choisie : avec 1cm  0,02 m.s-1, on a 4,4 cm pour v2.

Le vecteur vitesse instantané à l’instant est caractérisé par 3. Le vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse instantané à l’instant est caractérisé par - son origine : le point où se trouve l’objet à l’instant t - sa direction : tangent à la trajectoire - son sens : dans le sens du mouvement sa longueur : en fonction de l’échelle choisie proportionnelle à la valeur de la vitesse :

3. Le vecteur vitesse instantanée G1 G7 En G4 ? G2 G3 G6 v4=9.10-2 m.s-1 G4 G5 longueur Avec 1cm  0,02 m.s-1, on a 4,5 cm pour v4

3. Le vecteur vitesse instantanée G1 G7 G2 G3 G6 G4 G5 longueur

3. Le vecteur vitesse instantanée Lien avec le vecteur position ? Si on choisit de prendre des photos de l’oiseau à des intervalles de temps  plus courts, les position G3 et G5 vont se rapprocher de G4. devient tangent la trajectoire et dans le même sens que le déplacement. G3 G4 G5 longueur

3. Le vecteur vitesse instantanée Lien avec le vecteur position ? x y O G3 G4 G5 longueur

vx et vy sont des fonctions du temps 3. Le vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse d’un point matériel M est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position . On calcule ses coordonnées en dérivant par rapport au temps chacune des coordonnées du vecteur position : vx et vy sont des fonctions du temps

4. Le vecteur accélération Entre les positions G2 et G4 le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie varie. Le vecteur accélération nous rend compte de cette variation par rapport au temps. G1 G7 G2 G3 G6 G4 G5 longueur La direction et le sens de l’accélération nous sont donnés par le vecteur

4. Le vecteur accélération

4. Le vecteur accélération L’accélération d’un point matériel M est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur vitesse . Ses coordonnées sont : avec donc

5. Les équations horaires x(t) et y(t) Ce sont des équations qui donnent les coordonnées x et y d’un point matériel en fonction du temps Exemple : x=3t+4 et y=9t² On peut alors obtenir les équations horaires de la vitesse et de l’accélération :

5. Les équations horaires Dérivation par rapport au temps Dérivation par rapport au temps 3t+4 9t² 3 18t Intégration par rapport au temps Intégration par rapport au temps Les intégration par rapport au temps vont faire apparaître des constantes qui sont à déterminer à partir des conditions initiales : Ici : x(t=0)= ; y(t=0)= ; vx(t=0)= et vy(t=0)= 4 3

Avec l’exemple précédent : 6. Equation de la trajectoire d’un point matériel M Lorsque le mouvement est plan, c’est une équation qui donne la coordonnée y d’un point matériel en fonction de x. Elle s’obtient en combinant les équations horaires, cette combinaison permet d’éliminer le temps t. Avec l’exemple précédent : L’équation de la trajectoire est donc : y=x²