Institut National de Recherche Pédagogique INRP et Commission inter-IREM Didactique (Conception et Diffusion d’) Activités Mathématiques et de Parcours d’Etude et de Recherche pour l’Enseignement Secondaire (CD)AMPERES

L’équipe AMPERES… et ses entours 2005 – 2008 Aix-Marseille Bordeaux Clermont-Ferrand Poitiers Toulouse (IUFM) (CD)AMPERES 2008 – 2011 Aix-Marseille Bordeaux Clermont-Ferrand Dijon Montpellier Nice Poitiers Toulouse (IUFM)

Quelques indices (liste non exhaustive) 1. Evolution du choix de la spécialité au Bac S (source MEN-DEPP)

2. Différence entre les citations positives et les citations négatives dans l’enseignement général et technologique (en %) (Establet et al., 2005)

Du côté de la didactique des mathématiques… Dès ses origines, une double préoccupation Un développement considérable depuis 1980 Une difficulté à implanter des ingénieries didactiques dans le système éducatif Une absence de (re)connaissance de la didactique par la profession des professeurs de mathématiques

… et du côté des équipes AMPERES, quelques convictions ! Une première conviction : la didactique fournit des outils professionnels efficaces, mais nécessitant d’être maîtrisés, donc une formation. Une (autre) conviction : s’en servir pour concevoir et développer des séquences d’enseignement engage la profession toute entière, sa formation, et non des professeurs isolés Encore une (autre) conviction : la possibilité, en comptant sur les forces disponibles, de se lancer dans le développement de propositions d’enseignement pour les classes « ordinaires »

Quelques constats sur l’état des rapports entre mathématiques, école, société (Extraits de Y. Chevallard, APMEP journées 2006) L’observation clinique de la société tend à montrer que tout se passe comme si, culturellement, les savoirs mathématiques ne comptaient pas Purification épistémologique (mathématiques mixtes et mathématiques pures) : exclusion du non-mathématique des sphères scolaire et savante

Mathématiques immotivées… Causes : séparation structure / fonction (ce que c’est / ce à quoi ça sert) Conséquences :  on suppose que ce qu’on enseigne aura des usages, mais on ne sait plus lesquels  on justifie de ne pas répondre, ou de ne pas savoir répondre, à la question « Pourquoi tel ou tel objet mathématique ? »

En recourant à des discours de type… naturaliste : les objets mathématiques sont dans la Nature (angles, triangles,…), seule leur étude est le fait de l’Homme « l’art pour l’art », proches d’une rhétorique aristocratique : « les savoirs mathématiques ne sont pas, ou ne sont pas que, des outils… »

Deux affirmations… et fin des citations du texte de Y. Chevallard ! « Ce qu’un savoir permet de comprendre et de faire est son utilité : l’utilité d’un concept, par exemple, c’est sa capacité à permettre de comprendre et d’agir, à outiller la pensée et l’action » « On ne connaît pas un savoir si l’on ne connaît pas les raisons d’être, ou du moins quelques-unes d’entre elles, qui le rendent désirable »

CONSTAT : Etat des « activités » dans les manuels… et état des programmes Elles ne sont souvent vues que comme des phases préparatoires, échauffements mettant en scène des pré requis. Elles ne font pas apparaître la ou les questions problématiques motivant et générant l’étude à entreprendre ; idem pour les programmes Le découpage en chapitre, et « en petites marches » dans les programmes, chacun traitant d’un thème particulier, tend à faire disparaître les questions à fort pouvoir générateur d’études et de recherches (« autisme thématique »).

13D.Gaud - N.Minet Irem de Poitiers Un exemple dans le programme de 2 de

Bandeau du programme Pour faire … quoi ?

Contenus, capacités et commentaires Une liste de contenus et de capacités sans réelles finalités

Ce qui ne figure pas dans le programme... Les problèmes que ces connaissances sont censées résoudre Les raisons d’être de l’étude de ces notions En quoi ces connaissances sont utiles pour l’instruction des citoyens, donc pour la société Où ces connaissances se rencontrent dans la « vraie vie »,... ou dans les mathématiques. L’accent est mis sur l’étude d’objets mathématiques, pas sur les raisons pour lesquelles on les étudie

Conséquences… Si on suit les programmes sans aucun recul on est amené à dispenser un enseignement qui ressemble à une visite de musée : on visite de beaux objets qui ne servent plus à rien, ou bien dont on ne voit plus à quoi ils pourraient servir on ne visite que certaines salles (par exemple pas la salle des quadrilatères) sans expliquer pourquoi on a choisi telle salle plutôt qu’une autre.

La question du savoir, ou le savoir comme (réponse à une) question « Pour un esprit scientifique, TOUTE CONNAISSANCE EST REPONSE A UNE QUESTION. S’il n’y a pas eu de question, il ne peut y avoir connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit. » Gaston Bachelard, La formation de l’esprit scientifique, 1938 « J’appelle ŒUVRE toute production humaine O permettant D’APPORTER RÉPONSE À UN OU DES TYPES DE QUESTIONS Q, questions “ théoriques ” ou “ pratiques ”, qui sont les raisons d’être de l’œuvre – et cela sans considération de la “ taille ” de l’œuvre […] » Yves Chevallard La fonction professorale : esquisse d’un modèle didactique, 1995

Comment les savoirs peuvent-ils être enseignés (1) Etymologie d’enseigner : 1050 « faire connaître par un signe, une indication » du lat. vulg. insignare, class. insignire « signaler, désigner » L’ostension directe et assumée : « L’ostension est la donnée par l’enseignant de tous les éléments et relations constitutifs de la notion visée » (H. Ratsimba-Rajhon, 1977) - le cours magistral L’ostension déguisée : fiction que l’élève produit le savoir par son « activité » - la plupart des activités des manuels scolaires (Berthelot & Salin, 1992) La responsabilité de produire la réponse incombe au professeur

Comment les savoirs peuvent-ils être enseignés (2) « Si l’on accepte que l’apprentissage est une modification de la connaissance que l’élève doit produire lui-même et que le maître doit seulement provoquer, on est conduit à faire les raisonnements suivants. […] Le travail du professeur consiste donc à proposer à l’élève une situation d’apprentissage afin que L’ÉLÈVE PRODUISE SES CONNAISSANCES COMME RÉPONSE PERSONNELLE À UNE QUESTION et les fasse fonctionner ou les modifie comme RÉPONSES AUX EXIGENCES DU MILIEU et non à un désir du maître. » Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques, 1998

Conséquences relatives à un enseignement organisé pour un apprentissage par adaptation « Corollaire 1 […] l’enseignant ne peut pas dire à l’avance à l’élève exactement quelle réponse il attend de lui ; il doit donc faire en sorte que ce dernier accepte la responsabilité de chercher à résoudre des problèmes ou des exercices dont il ignore la réponse. » Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques, La responsabilité de faire construire et produire la réponse par les élèves incombe au professeur.

Un tel type d’enseignement peut-il exister ? Oui, à l’école Jules Michelet de Talence, Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, N. & G. Brousseau, 1987 Difficilement dans le système éducatif « standard » car : - nécessité de concevoir des situations contenant des milieux adidactiques - nécessité d’une formation professionnelle à la didactique et à ce type d’enseignement - contraintes et contingence (systèmes en partie sous-déterminés) - etc.

Retour sur le projet AMPERES

La notion d’Activité d’Etude et de Recherche (AER) : introduction (ébauche) Une Activité d’Etude et de Recherche (AER) est bâtie autour d’une question qui conduit les élèves, sous la direction du professeur, à l’étude par la recherche, d’un sujet voire d’un thème du programme. Elle permet de réaliser trois moments de l’étude : La première rencontre avec un type de tâches Son exploration et l’émergence d’une technique permettant de l’accomplir La constitution de l’environnement du savoir associé à la technique (technologico-théorique)

La notion d’Activité d’Etude et de Recherche (AER) : quelques traits Exemple : multiplication des décimaux (programme de 6 e ) Domaine : 2. Nombres et calcul Secteurs : Nombres entiers et décimaux 2.Division, quotient Thèmes : Désignation, Ordre, Valeur approchée décimale, Opérations : addition, soustraction et multiplication, Ordre de grandeur Sujet : La multiplication de deux décimaux est en revanche à mettre en place en 6 e, aussi bien du point du sens que du point de vue de la technique de calcul posé

La notion de Parcours d’Etude et de Recherche (PER) : introduction (ébauche) Un Parcours d’Etude et de Recherche (PER) est bâti autour d’une question plus large, qui conduit les élèves à l’étude par la recherche, d’un secteur, de plusieurs secteurs, ou de parties de plusieurs secteurs d’un domaine du programme. L’étude de la question pouvant même, dans ce cas, relever de programmes de plusieurs niveaux.

La notion de Parcours d’Etude et de Recherche (PER) : quelques traits Exemple en 2 de : Poursuite de l’étude des programmes de calcul (inéquations) Domaine : Calcul et fonctions Secteurs : Nature et écriture des nombres, fonctions*, Mise en équation ; résolution algébrique, résolution graphique d’équations et d’inéquations**

La notion de Parcours d’Etude et de Recherche (PER) : exemple (ébauche) Thèmes : *Identifier la variable et son ensemble de définition pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule. Il importe que les élèves sachent lire de façon critique l’information contenue dans la courbe (lectures approchées d’images et d’antécédents, ou lectures exactes dans certains cas précisés par le graphique, variations, etc.) *Place des TICE […] L’usage de calculatrices graphiques permet de relier très facilement, et de façon quasi instantanée, les domaines numérique et graphique, et d’enrichir ainsi considérablement l’approche des fonctions. Une réflexion sur les tracés obtenus dans différentes fenêtres peut être développée et contribuer à une meilleure compréhension des propriétés des fonctions

Exemple (suite) Thèmes : *Premières fonctions de référence *Fonctions et formules algébriques ** Résoudre une équation ou une inéquation se ramenant au premier degré Sujets : Liste à dresser…

Retour sur la définition du projet AMPERES

Que faire ? Un cadre pour des propositions… Motiver, à partir d’une question problématique dévolue aux élèves, l’étude d’un thème mathématique ou d’une partie d’un secteur ou d’un domaine mathématique : analyses mathématiques a priori et a posteriori Etudier les conditions de réalisation effective de telles activités et de tels parcours : analyses didactiques a priori et a posteriori Laisser du « jeu », sous contrôle théorique a priori, au professeur Ne pas faire exclusivement confiance qu’aux milieux, mais laisser de la place pour les médias (professeur, manuels, livres, Internet, parents…)

Comment faire ? Quelques idées… Partir des domaines du programme, sur un ou plusieurs niveaux Faire une analyse de son organisation mathématique issue de la transposition didactique (types de tâches & techniques, leurs justifications, théorèmes, définition, etc.) Rechercher au moins une ou des grandes questions auxquelles répond ce domaine (le savoir réponse à des questions) ; recherche épistémologique et non pas seulement historique. Y a-t-il une ou des questions mathématiques, ou y faisant appel, dont la recherche de la réponse pourrait générer le savoir à enseigner, ou une partie ?

Comment faire ? Quelques idées… (suite) Ces questions sont-elles transposables, et alors sous quelle forme, de manière à ce que les élèves puissent s’en saisir et tenter l’élaboration de réponses, avec les connaissances dont ils disposent ? Transposition didactique. Comment faire pour dévoluer, guider, diriger l’étude en classe de cette ou ces questions, et de la production des réponses ? Organisation didactique. Comment faire pour que le travail des élèves reste un travail de recherche, et non un énoncé de problème dont l’étude a été déjà faite… ailleurs ?

Rechercher des questions à fort pouvoir générateur d’étude et de recherche qui permettent de motiver et produire des parties du (des) programme(s) à enseigner Un schéma : Rechercher des QFPGE en remontant aux niveaux des secteurs et domaines Et non pas en cherchant des sujets

Quelques exemples Rechercher les raisons d’être des mathématiques à enseigner (pourquoi la géométrie du triangle, l’algèbre, la statistique descriptive / inférentielle ?) Existe-t-il un ou plusieurs cercles qui passent par deux points, par trois points, par n points ?… Comment calculer la distance entre deux points inaccessibles ? Concevoir une transposition didactique possible en tenant compte des contraintes (programme, …)

Fournir aux professeurs des organisations mathématiques et didactiques éprouvées Concevoir a priori ces organisations (moments de l’étude, types de situations), les questions et sous- questions à dévoluer aux élèves, anticiper leurs réactions à partir de leurs connaissances antérieures, les rôles du professeur et des élèves, etc. Observer la (les) passation(s), l’analyser a posteriori, retoucher éventuellement organisations didactique et mathématique Rédiger un document utilisable par les professeurs, explicitant les choix et leurs conséquences (ainsi que les conséquences des non-choix), laissant un certain « jeu », contribuant à la formation professionnelle, etc.

Une préoccupation internationale et les finalités du travail AMPERES Un rapport (Rocard) européen en juin 2007 Des travaux similaires en Espagne et en Belgique Non pas prescrire, mais prouver qu’un autre type d’enseignement est possible, dans le système, qui donne du sens à l’étude et l’apprentissage des mathématiques. Il ne s’agit pas de fournir aux professeurs des propositions d’enseignement « clés en main » Former les professeurs, donner des outils pour l’autonomie professionnelle.

MERCI