Faculté Polytechnique Cours 5: introduction à la géométrie analytique spatiale Géométrie et communication graphique Edouard Rivière-Lorphèvre

Université de Mons Introduction 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Les objets élémentaires en géométrie spatiale sont la droite et le plan Ils permettent de délimiter une sous-partie de l’espace à 1 ou 2 dimensions Diverses représentations possible Représentation vectorielle 3 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique d 

Université de Mons Équation vectorielle de plan 4 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Equations paramétriques de plan 5 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons En éliminant les paramètres, on obtient une relation linéaire Ax+By+Cz-D=0 Equation cartésienne du plan 6 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Equation cartésienne du plan 7 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique CBDA

Université de Mons Établir les équations vectorielle, paramétrique et cartésienne d’un plan passant par les points A(1,2,3) B(-2,4,5) et C(2,0,3) Exemple 8 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 9 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 10 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Ax+By+CZ-D=0 Les coefficients sont définis à une constante multiplicative près Si un des coefficients A,B ou C est nul, le plan est parallèle à l’axe x,y ou z Exemple: x+y-2=0 //z z-1=0 // x et y (donc ┴ à z) Équation cartésienne de plan 11 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Vecteur normal 12 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons 13 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Si un plan est défini par sa forme cartésienne Ax+By+Cz-D=0, un vecteur normal au plan est obtenu par (A,B,C) La forme normalisée est celle pour laquelle le vecteur normal est unitaire Forme cartésienne normalisée 14 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Forme cartésienne normalisée 15 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Dans cette configuration, on peut interpréter les coefficients de l’équation Forme cartésienne normalisée 16 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Cosinus directeur

Université de Mons Distance du plan à l’origine: recherche de O’ Résolution du système formé par les équations d’une droite passant par l’origine et ayant n comme vecteur directeur L’équation cartésienne du plan Forme cartésienne normalisée 17 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Forme cartésienne normalisée 18 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Point O’

Université de Mons Forme cartésienne normalisée 19 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Forme polaire 20 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Cosinus directeurs Distance à l’origine

Université de Mons Tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur normal (si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite du plan) Une autre façon de décrire le plan peut donc être proposée Equation normale 21 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 22 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique (1;2;3).((x;y;z)-(0;2;-4))=0 x+2(y-2)+3(z+4)=0 x+2y-4+3z+12=0 x+2y+3z+8=0

Université de Mons Equation cartésienne de plan connaissant les points de percée des axes dans ce plan 23 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons L’équation d’un plan passant par les point (x 1,y 1,z 1 ), (x 2,y 2,z 2 ) et (x 3,y 3,z 3 ) peut s’obtenir par: Equation cartésienne de plan 24 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Mais c’est un mauvais choix de l’obtenir par cette méthode

Université de Mons Passage forme cartésienne- paramétrique 25 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Soit le plan  défini par 2x-3y+z+6=0 Déterminer une représentation paramétrique de ce plan Exemple 26 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Résolution d’un système formé des équations cartésiennes des trois plans Résolution sous forme matricielle Intersection de plans 27 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Intersection de plans 28 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Rang 3 Rang 1 Rang 2

Université de Mons Intersection de trois plans donnés par leur équation cartésienne  ≡ x-4y+z+5=0  ≡ -x+3y-2z-2=0  ≡ -3x-6y+z-5=0 Résolution par la méthode de Gauss Exemple 29 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 30 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique L2=L2+L1 L3=L3+3L1 L3=L3-18L2  z=2

Université de Mons Exemple 31 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique L1=L1-L3 L2=L2+L3  y=1 Intersection en (-3;1;2)

Université de Mons Intersection de trois plans donnés par leur équation cartésienne  ≡ x+2y+3z+1=0  ≡ 2x+4y+8z+6=0  ≡ -x-2y-6z-7=0 Autre exemple 32 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Autre exemple 33 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique L2=L2-2L1 L3=L3+L1

Université de Mons 34 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Système sous contraint y=  Droite passant par (5;0;-2) de vecteur directeur (-2;1;0)

Université de Mons Équation vectorielle de droite 35 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Equation paramétrique de droite 36 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Equations cartésiennes de droite 37 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Soit un point P appartenant à la droite  Forme canonique 38 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Système homogène de 2 équation à 3 inconnues

Université de Mons Il existe une infinité de solutions à ce système Chaque inconnue (x-x P ), (y-y P ) et (z-z P ) peut être obtenue par Ces trois équations peuvent se synthétiser par Forme canonique 39 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons La forme canonique est directement reliée aux équations paramétriques de la droite Forme canonique 40 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique 

Université de Mons Si une droite est parallèle à un des plans de base, son vecteur directeur admet une coordonnée nulle Par exemple, une droite parallèle à Oxy garde une coordonnée z constante Forme canonique 41 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Dans ce cas, la forme canonique conduit à une représentation de la forme La description de la droite doit alors passer par ses équations cartésiennes Forme canonique 42 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Projection d’une droite dans un plan de coordonnées 43 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons L’équation de la droite est obtenues en rassemblant l’équation du plan de coordonnées avec le plan contenant la droite et perpendiculaire au plan de coordonnées Par exemple: projection dans le plan horizontal (Oxy): intersection de z=0 avec le plan de projection vertical contenant la droite Projection d’une droite dans un plan de coordonnées 44 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Si la droite est donnée par ses équations cartésiennes, l’équation du plan vertical est obtenue en éliminant z entre les deux équations (dans le plan projetant, la coordonnées x et y sont liées de manière indépendante de z) Projection d’une droite dans un plan de coordonnées 45 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 46 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons L’angle formé entre deux droite s’obtient de manière directe par l’intermédiaire du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs Deux droite sont parallèle si les composantes de leurs vecteurs directeurs sont proportionnelles Deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire est nul ( l 1 l 2 +m 1 m 2 +n 1 n 2 =0 ) Calcul d’angles 47 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons L’angle dièdre que forment deux plans est l’angle mesuré dans un plan perpendiculaire à leur intersection Cet angle est le supplémentaire de l’angle entre les normales Deux angle supplémentaires ont le même cosinus au signe près Calcul d’angle 48 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Calcul d’angles 49 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est parallèle à son vecteur normal Une droite est parallèle à un plan si elle est perpendiculaire à son vecteur normal Calcul d’angle 50 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Distance point-droite mesurée perpendiculairement à la droite Établissement de l’équation cartésienne du plan perpendiculaire à la droite passant par le point Recherche du point de percée de la droite dans ce plan Calcul de la distance entre le point initial et le point de percée Calcul de distance 51 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Distance point plan mesurés selon la normale Point de percée pour Q’ Calcul de distance 52 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Calcul de distance 53 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Université de Mons Exemple 54 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Point de percée -2+µ+2+4µ+12+16µ-17=0  21µ=5 Point de percée (-2+5/21;1+10/21;3+20/21)

Université de Mons Exemple 55 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Point de percée (-2+5/21;1+10/21;3+20/21) Distance avec le point (1;2;3)