Un projet pour tous, un engagement pour chacun Cette épreuve de « compte est bon » permet à tous les élèves, quel que soit leur compétence, de participer et de produire quelques réponses qui font avancer l’équipe. Dans le temps imparti, les élèves les plus performants pourront chercher le maximum de réponses en utilisant des « chemins » plus complexes, pendant que les élèves les plus en difficulté arriveront à trouver les solutions les plus facilement accessibles, en allant à leur rythme. Avec le système de globalisation des scores individuels pour établir celui de la classe, chacun est responsable de la performance de la classe. L’esprit d’équipe doit donc être un ressort utile à l’amélioration des performances individuelles et à la coopération dans le cadre des règles prévues. La recherche et la mutualisation des stratégies efficaces, ainsi que l’amélioration des compétences individuelles, seront des leviers d’apprentissage. Projet défi « compte-est-bon »

43 2 / 4 / 5 / 6 / 8 /9 But du jeu Avec les 6 nombres, trouver le plus possible de solutions différentes pour atteindre le nombre cible. Règles du jeu Dans la même solution, chaque nombre ne peut être utilisé qu’une seule fois Chaque nouvelle solution apporte un point au participant. 2 solutions réalisées avec les mêmes produits ne sont pas comptées La recherche se fait dans un temps limité (environ 30 minutes). Tous les points obtenus par les élèves de la classe sont additionnés, puis ce nombre est divisé par le nombre total d’élèves de la classe Règles du jeu Dans la même solution, chaque nombre ne peut être utilisé qu’une seule fois Chaque nouvelle solution apporte un point au participant. 2 solutions réalisées avec les mêmes produits ne sont pas comptées La recherche se fait dans un temps limité (environ 30 minutes). Tous les points obtenus par les élèves de la classe sont additionnés, puis ce nombre est divisé par le nombre total d’élèves de la classe

43 2 / 4 / 5 / 6 / 8 /9 4x5=20 ; 9+8+6=23 ; 20+23=43 ; 5-2=3 ; 3x8=24 ; 6+4+9=19 ; 24+19=43 4x6=24 ; 8+2+9=19 ; 24+19=43 8-5=3 ; 3x9=27 ; 6-2=4 ; 4x4=16 ; 7+16=43 5+2=7 ; 4x7=28 ; 9+6=15 ; 28+15=43 6x5=30 ; 9+4=13 ; 30+13=43 4x8=32 ; 6+5=11 ; 32+11=43 9-2=7 ; 7x5=35 ; 35+8=43 4x9=36 ; 5+2=7 ; 36+7=43 8x5=40 ; 9-6=3 ; 40+3=43 8+2=10 ; 4x10=40 ; 9-6=3 ; 40+3=43 4x5=20 ; 9+8+6=23 ; 20+23=43 ; 5-2=3 ; 3x8=24 ; 6+4+9=19 ; 24+19=43 4x6=24 ; 8+2+9=19 ; 24+19=43 8-5=3 ; 3x9=27 ; 6-2=4 ; 4x4=16 ; 7+16=43 5+2=7 ; 4x7=28 ; 9+6=15 ; 28+15=43 6x5=30 ; 9+4=13 ; 30+13=43 4x8=32 ; 6+5=11 ; 32+11=43 9-2=7 ; 7x5=35 ; 35+8=43 4x9=36 ; 5+2=7 ; 36+7=43 8x5=40 ; 9-6=3 ; 40+3=43 8+2=10 ; 4x10=40 ; 9-6=3 ; 40+3=43 5+2=7 ; 6x7=42 ; 9-8=1 ; 42+1=43 9x5=45 ; 6-4=2 ; 45-2=43 6x8=48 ; 48-5=43 6+4=10 ; 10x5=50 ; 9-2=7 ; 50-7=43 6x9=54 ; 5+4+2=11 ; 54-11=43 5+2=7 ; 7x8=56 ; 9+4=13 ; 56-13=43 2x5=10 ; 6x10=60 ; 9+8=17 ; 60-17=43 8-5=3; 9+2=11; 3x11=33; 6+4=10; 33+10=43 6+5=11 ; 4x11=44 ; 9-8=1 ; 44-1=43 9+2=11 ; 5x11=55 ; =43 8+4=12 ; 9-6=3 ; 3x12=36 ; =43 2x6=12 ; 4x12=48 ; 48-5=43 2x6=12 ; 5x12=60 ; 9+8=17 ; 60-17=43 8+5=13 ; 9-6=3 ; 3x13=39 ; 39+4=43 9+4=13; 5x13=65;2x8=16;16+6=22;65-22=43 8+9=17 ; 2x17=34 ; = =19 ; 2x19=38 ; 38+5=43 5+2=7 ; 6x7=42 ; 9-8=1 ; 42+1=43 9x5=45 ; 6-4=2 ; 45-2=43 6x8=48 ; 48-5=43 6+4=10 ; 10x5=50 ; 9-2=7 ; 50-7=43 6x9=54 ; 5+4+2=11 ; 54-11=43 5+2=7 ; 7x8=56 ; 9+4=13 ; 56-13=43 2x5=10 ; 6x10=60 ; 9+8=17 ; 60-17=43 8-5=3; 9+2=11; 3x11=33; 6+4=10; 33+10=43 6+5=11 ; 4x11=44 ; 9-8=1 ; 44-1=43 9+2=11 ; 5x11=55 ; =43 8+4=12 ; 9-6=3 ; 3x12=36 ; =43 2x6=12 ; 4x12=48 ; 48-5=43 2x6=12 ; 5x12=60 ; 9+8=17 ; 60-17=43 8+5=13 ; 9-6=3 ; 3x13=39 ; 39+4=43 9+4=13; 5x13=65;2x8=16;16+6=22;65-22=43 8+9=17 ; 2x17=34 ; = =19 ; 2x19=38 ; 38+5=43 J’ai trouvé 28 solutions… en 27 minutes

Le fait d’utiliser la contrainte de produits différents dans chaque solution peut apparaître « limitante » pour le nombre de solutions possibles : en effet, il interdit de « décliner » une solution en plusieurs « voisines » (cf. diapo suivante) Les raisons du choix sont les suivantes :  En limitant, on oblige les élèves à explorer plus en profondeur le champ multiplicatif pour trouver de nouvelles solutions et donc favoriser le calcul d’écart, bien qu’on perde en recherche sur des résultats < à 10. Mais cette recherche est déjà présente dans la plupart des autres solutions.  Sans cette règle, la gestion des solutions identiques ou différentes devient très compliquée pour les élèves… et les enseignants ! Ils se perdent rapidement, écrivent plusieurs fois les mêmes solutions sans vraiment gérer les règles de commutativité et d’associativité : ce projet pourrait être intéressant pour les plus grands qui se lancent dans les écritures avec parenthèses.  Au contraire, avec cette règle, la gestion est plus simple : il suffit aux élèves de repérer dans chaque solution où sont les produits (encadrés ou soulignés) pour pouvoir vérifier si les solutions sont réellement différentes. Pourquoi une seule fois le même produit?

Pourquoi une seule fois le même produit? Exemples 43 2 / 4 / 5 / 6 / 8 / x8= = x4=8 6x8= = =6 6x8= = =3 ; 3x2=6 6x8= = =5 6x8= = x5=10 ; 10-9=1 ; 4+1=5 6x8= = x5=10 ; 10+4=14 ; 14-9=5 6x8= = x8= = =43 Ces 2 solutions sont-elles déjà trouvées ?

Comment faire pour atteindre le nombre cible ? (s’approcher avec des produits et « réajuster » avec les nombres disponibles restant) Comment faire pour trouver rapidement l’écart, une fois qu’on s’est approché du nombre cible ? (réinvestir ou retravailler les compétences de calcul d’écart) Comment être sûr qu’on ne peut pas « fabriquer » les nombres qui nous manquent avec ceux qu’on n’a pas encore utilisés ? (développer un algorithme d’essai de toutes les combinaisons possibles (+/-/x / :) Comment trouver le plus de solutions différentes ? (s’appuyer sur tous les résultats des tables de multiplication, explorer celles > à 10) Comment faire pour atteindre le nombre cible ? (s’approcher avec des produits et « réajuster » avec les nombres disponibles restant) Comment faire pour trouver rapidement l’écart, une fois qu’on s’est approché du nombre cible ? (réinvestir ou retravailler les compétences de calcul d’écart) Comment être sûr qu’on ne peut pas « fabriquer » les nombres qui nous manquent avec ceux qu’on n’a pas encore utilisés ? (développer un algorithme d’essai de toutes les combinaisons possibles (+/-/x / :) Comment trouver le plus de solutions différentes ? (s’appuyer sur tous les résultats des tables de multiplication, explorer celles > à 10) 0 nombre cible 0 nombre cible __x__=__ __-__=__ __+__=__ Préparation: stratégies à développer

Feuille réponse : (une solution par case, tous les calculs doivent être inscrits) Nom :____________________________ Classe :____________ Ecole :______________

Variables possibles en fonction des niveaux de classe Exigence de présentation : Niveau 1 : -On peut tolérer des approximations dans la présentation : exemple « 6x8=48 -5 = 43 ». -L’adulte a le droit de signifier à un élève qu’il manque l’explication d’un calcul dans sa présentation: -ex : « 6x7=42 ; 42+1=43 ; pas d’explication pour obtenir 1 ». -Après avoir repéré sur les feuilles avec une croix les présentations incomplètes (indépendamment de la justesse des calculs), il peut même organiser une relecture « hors temps » de recherche pour améliorer les présentations (pas de nouvelle solution pendant cette phase). Niveau 2 : -Les élèves doivent contrôler parfaitement leur présentation, qui doit être exhaustive. Un temps de relecture (mais sans indication de l’adulte sur les feuilles) peut être organisé « hors temps » de recherche. Niveau 3 : - Les élèves doivent présenter leur solution sous forme d’écriture avec parenthèses, en 1 égalité. Le temps de transformation des écritures se fait après le temps de recherche, sur une autre feuille : Ex : (6x8) – 5 = 43 ((5-2) x8) = 43 Cette exigence demande un travail d’apprentissage spécifique hors concours, notamment sur les « priorités » que génèrent les parenthèses. Outils disponibles : Niveau 1 : il n’y a pas eu de contrat de mémorisation pour certaines tables de multiplication - Les élèves ont la possibilité de consulter ces tables afin de rechercher des résultats qui les intéressent. Niveau 2 : toutes les tables sont supposées connues -Pas de recours aux tables de façon systématique -Temps de recherche: à définir…

Coopération, interaction et différenciation : Pour les élèves qui ont du mal à mettre en place une stratégie de recherche: Possibilité de chercher en binôme (une seule feuille pour le compte des points) Possibilité de former un groupe (4-5 élèves maximum, une seule feuille pour le compte des points) accompagné par l’enseignant Règle de base du travail en groupe : on cherche tous sur la même solution au même moment, il ne s’agit pas de reporter sur une seule feuille des solutions trouvées individuellement. Pour les élèves qui ont du mal à gérer toutes les contraintes en même temps (recherche, contrainte d’1 seule utilisation de chacun des 6 nombres disponibles, règles de présentation) : Même dispositifs de travail à plusieurs possibles Possibilité pour l’adulte de donner des indications sur le travail en cours sur l’oubli d’une contrainte (il signale que la solution ne peut être validée en l’état)

Coopération, interaction et différenciation : Pour les élèves en difficulté au niveau du calcul : Possibilité d’avoir accès aux tables de multiplication, de façon plus ou moins « forte » : - Accès permanent à tous les résultats des tables, mais sans le produit associé. - Accès limité pendant un temps donné aux tables complètes, avec la possibilité ou non de noter pendant qu’on a les tables sous les yeux - Nombre de recours aux tables limité à 2 ou 3 « coups d’œil », pour vérifier des résultats par exemple. Possibilité d’utiliser une bande de 100 (file numérique) pour gérer les écarts : travailler un affranchissement progressif de cet outil (de la file avec tous les nombres représentés à la file avec juste quelques repères (dizaine pile et passage par 5) Possibilité d’utiliser la calculette à certains moments : à réserver pour les élèves en grande difficulté qui n’arrivent pas à trouver certains calculs (notamment les écarts entre un produit et le nombre-cible). Etayage possible mais pas forcément facile à utiliser… Possibilité de demander à l’adulte (ou aux camarades) s’il est possible d’obtenir tel nombre intermédiaire avec tels nombres disponibles. On répond juste par « oui, c’est possible » ou « non, ce n’est pas possible ». Ce dispositif permet de « relancer » les enfants boqués.