Réalisé par : - Mohamed QUARCH Jury : - M.HASSNOUN - Mouad ARRAD - M.NADIR - El mehdi EL RHANDOURI - A.BAALAL Encadré par : - M.HASSNOUN année scolaire:2006/2007

Sommaire: 1-Les translatées à gauche et à droite d une fonction : 2-Mesure de haar : 3-Mesure invariante: 4-Module d un groupe localement compact : 5-Mesure quasi-invariante sur un espace homogène:

Les translatées à gauche et à droite d une fonction : Soit G un groupe localement compact. Pour toute fonction f sur G, et tout s G on désigne par ( γ(s)f) (et (δ(s)f) le translatées à gauche ( et à droite) de f défini par les formules: (γ(s)f)(x)=f(s ⁻ ¹x) (δ(s)f)(x)=f(xs) )

Mesure invariante: Définition : On dit qu'une mesure μ sur G est invariante à gauche ( respectivement à droite) si, pour tout s G et toute f appartenant à l ensemble K (G) des fonctions continues complexe à support compact sur G, on a : ∫ G |γ(s)f| dμ=∫ G f dμ. (resp ∫ G (δ(s)f)dμ=∫ G f dμ)

Mesure de haar : Définitions : Pour tout groupe G localement compact, il existe une mesure positive non nulle,unique à un facteur constant prés, invariante à gauche par G.Une telle mesure est appelée mesure de Haar à gauche sur G.(même définition et résultat à droite ) Notation: on note, en général, dx une telle mesure, c.à.d. que l’on écrit ∫ G f(x)dx au lieu de ∫ G f dμ ou de ∫ G f(x)dμ(x). On a donc, par définition, pour tout s appartient a G : ∫ G f(s -1 x) dx = ∫ G f(x) dx.

La notation μ reste évidemment indispensable lorsqu'on désir utiliser la mesure des parties mesurables de G. Par exemple, L'invariance à gauche de μ est équivalente à la relation : μ (sA)= μ(A) pour tout s G et tout A intégrable (L'invariance à gauche de μ μ (sA)= μ(A)  s G  A intégrable)

propriétés : -Lorsque G est compact, μ(G)= ∫ G dx est fini non nul; par conséquent, en remplace μ par μ(G) μ, on peut toujours supposer μ(G)=1. ON dit alors que la mesure de Haar est normalisée, ce que l on supposera toujours dans la suite, qauf si G est fini. Pour G compact, on a donc, pour tout f continue sur G: | ∫ G f(x)dx | <= ||f || ∞.

Cas d’un ouvert de ℝ n : -Soit X un ouvert de ℝ n muni de la loi : (x,y) m(x,y)=x.y supposons que m: X ⊗ X X est de classe C 1 Pour tout (x,y) X ⊗ X, soit J(x,y) le jacobien de la translation à gauche m x :z m(x,z) calculé au point y. Alors, on définit une mesure de Haar à gauche μ su X en posant,pour toute f continue à support compact sur X :

Exemple 1 : Si X =IR-{0} multiplicatif, on a J(x,y)= x, d’ou la mesure de Haar : (car J( x -1,x)= x -1 donc ) Exemple 2 : Si X= ℂ -{0} multiplicatif, on trouve comme mesure de Haar

Exemple 3 : soit G le groupe des x ax+b avec a ≻ 0, b  ℝ identifié a l’ouvert ℝ ⊗ ℝ +* qui est l'ensemble des (b,a), muni de la loi (b,a) (b',a') = (b+ab',aa'). on trouve: 1/a² dadb comme mesure de Haar à gauche,et 1/a dadb comme mesure de Haar à droite

Mesure invariante: Définition : On dit qu'une mesure μ sur G est invariante à gauche ( respectivement à droite) si, pour tout s G et toute f appartenant à l ensemble K (G) des fonctions continues complexe à support compact sur G, on a : ∫ G |γ(s)f| dμ=∫ G f dμ. (resp ∫ G (δ(s)f)dμ=∫ G f dμ)

exemples :Mesure invariante 0m ⁺ : soit C ₀⁺ l'ouvert de ℝ⁴ défini par les conditions : B(x,x)=(x ⁰ )² -(x¹)² -(x²)² - (x³)² ≻ 0 et x ⁰≻ 0. on a C ₀⁺ est invariant par l'action de SL(2, ℂ ). il est a peu évident, géométriquement, que C ₀⁺ est homéomorphe au produit ( ℝ⁺ -{0})× 0 m ⁺. on va vérifier que l'image, par cet homéomorphisme, de la mesure de lebesgue sur C ₀⁺, est une mesure produit, dont la composante sur 0 m ⁺ est une mesure invariante.

lemme : - si la mesure μ est le produit d'une mesure μ 1 sur ℝ⁺ -{0}, par une mesure μ 2 sur 0 m ⁺, la mesure μ 2 est invariante. preuve : - si c'est le cas, soit f 1 M ( ℝ⁺ -{0}) et f 2 M ( 0 m ⁺ ), et soit f=f 1 ⊗ f 2 : (λ,x) ↦ f 1 (λ)f 2 (x). on a : ∫ M f(X.m)dμ(m) = ∫ M f(m)dμ(m) pour tout X SL(2, ℂ ), c.à.d. : ∫ M f 1 (λ)f 2 (X.x)dμ 1 (λ)dμ 2 (x) = ∫ M f 1 (λ)f 2 (x)dμ 1 (λ)dμ 2 (x) ou (∫ ℝ⁺ -{0} f 1 (λ)dμ 1 (λ))( ∫ 0 m ⁺ f 2 (X.x)dμ 2 (x)) = (∫ ℝ⁺ -{0} f 1 (λ)dμ 1 (λ))( ∫ 0m ⁺ f 2 (x)dμ 2 (x)) Or, on peut choisir f 1 telle que ∫ ℝ⁺ -{0} f 1 (λ)dμ 1 (λ)≠0 ( sinon μ 1 serait nulle, donc aussi la mesure de lebesgue sur C ₀⁺ ). On en deduit le resultat.

Calcul de la mesure µ 2 : La situation est trés simple ici, car l'hypersurface 0 m ⁺ est homéomorphe à ℝ ³ ; en fait, sa structure de variété est déterminée par une carte unique, qui est tout simplement la projection de 0 m ⁺ sur le sous-espace, isomerphe à ℝ ³, engendré par (e 1,e 2,e 3 ) : x= (x ⁰,x¹,x²,x³) (x¹,x²,x³) l'application reciproque est : ε=(ξ¹,ξ²,ξ³) ((l ξ l ² + m²) 1/2, ξ¹,ξ²,ξ³) soit μ′ l'image de μ par l 'homéomorphe de M sur ( ℝ⁺ -{0})× ℝ ³ défini par (λ,x) ↦ (λ,p(x)). Tout revient a verifier que μ′ est de la forme μ 1 ′ ⊗ μ 2 ′ ; on aura alors μ 1 = μ 1 ′, et μ 2 =p ⁻ ¹(μ 2 ′) sera l'image de μ 2 ′ par p ⁻ ¹. Or μ′ se calcule par simple changement de variables ; en effet, par définition de μ′, on a : ∫ C ₀⁺ f(y)dμ(y) = ∫ ( ℝ⁺ -{0})× ℝ ³ f(t p ⁻ ¹(ξ))dμ′(t,ξ)

Posons y=t p ⁻ ¹(ξ)=(t(l ξ l ² + m²) 1/2, ξ¹,ξ²,ξ³). Le jacobien de cette transformation est égal a : m² t³( m²+l ξ l²) -1/2, donc : ∫ C ₀⁺ f(y)dμ(y) = m² ∫ ( ℝ⁺ -{0})× ℝ ³ f(t p ⁻ ¹(ξ))t³( m²+l ξ l²) -1/2 dt dξ¹ dξ² dξ³ ce qui prouve que μ′ est le produit de t³dt et de μ′ 2 =m²( m²+ lξl²) -1/2 dξ¹ dξ² dξ³. A une constante près, on peut donc définir μ 2 par : ∫ 0 m ⁺ f(x)dμ 2 (x)= ∫ ℝ ³ f(t p ⁻ ¹(ξ)) ( m²+l ξ l²) -1/2 dξ¹ dξ² dξ³. remarques: 1) Les calculs pour 0 m - sont analogues, en remplacant C ₀⁺ par C ₀⁻.

Remarque : soit G = G 1 ⊗ G 2 ou G 1 et G 2 sont deux groupes localement compacts. Alors si µ 1 et µ 2 sont des mesure de Haar à gauche (respectivement à droite ) sur G 1 et G 2, la mesure produit µ 1 ⊗ µ 2 est une mesure de Haar à gauche (respectivement à droite ) sur G= G 1 ⊗ G 2

Module d un groupe localement compact : Soit µ=dx une mesure de Haar à gauche sur un groupe localement compact G. Pour tout s G, l’application : f ∫ G f(s -1 x) dx = ∫ G [  (s -1 )f] dx de K(G) dans ℂ, est évidemment encore une mesure de Haar à gauche sur G.

D’après l’unicité, il existe donc (s) ℝ⁺ -{0}, tel que : pour tout f K( G ) ” ( ) (s) est appelé MODULE de G avec :

Propriété :  L' application : G ℝ +*, dont la définition montre qu'elle est un homomorphisme de groupes.  est continue car  Lorsque =1, on dit que G est unimodulaire. (exemple : G abélien / G compact)

Mesure quasi-invariante sur un espace homogène: Définition: 3.1) on dit que la mesure µ est quasi invariante s'il existe une fonction telle que l'on ait, pour tout s G et toute