Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Introduction aux courbes paramétriques et à la géométrie différentielle

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Plan ● Introduction ● Représentation d'une droite ● Représentation d'une courbe ● Introduction : géométrie différentielle – Tangente, normale principale, repère de Frénet – Courbure, torsion ● Les cubiques d'Hermite

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Notion de courbe paramétrique ● Une courbe est engendrée par le déplacement d'un point P dans l'espace ● Pour faciliter l'interprétation, on peut prendre le temps t comme paramètre; mais n'importe quel scalaire u permet de décrire une courbe dans l'espace. ● A noter: Le point P(x,y,z) a les mêmes coordonnées que le vecteur O x z y P 1 = P(t 1 ) P 2 = P(t 2 ) P(t)

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Définition ● Un courbe paramétrique dans l'espace R 3 est définie par une fonction ● Ainsi, pour chaque valeur du paramètre u, on calcule indépendamment les trois coordonnées x, y et z du point P(u) ● Une même courbe peut avoir plusieurs représentations paramétriques différentes

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Exemple ● Equations paramétriques du cercle de rayon r, centré à l'origine (dans R 2 ): P(0) P(  /2 ) P(  ) P(0) P(1) P(-1) P(+  ) P(-  ) P(3  )

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Représentation d'une droite ● Représentation paramétrique d'une droite de R 3 passant par deux points P 1 et P 2 : ● Cette représentation conduit à la notion d'interpolation linéaire, en effet, quand u varie entre 0 et 1, le point P parcours linéairement le segment de P 1 jusqu'à P 2 u 01 P1P1 P2P2 P

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Représentation d'une droite ● Une droite peut aussi être représentée à partir d'un point et d'un vecteur: u 0 1 P1P1 v P

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Représentation d'une courbe ● En modélisation géométrique, on utilise essentiellement un paramètre borné et le plus souvent normalisé: u  [0, 1] ● Ceci est intéressant pour les applications où l'on traite des morceaux de courbes

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Introduction: géométrie différentielle ● Paramètre sur une courbe : u ∈ [0,1] ou abscisse curviligne : s ∈ [0, ℓ ]. – s est la longueur parcourue le long de la courbe depuis son origine. u=1 p(s) p(u) u=0 s=0 s=ℓ p(u+∂ u ) p(s+∂ s )

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Vecteur tangente ● Vecteur tangente unitaire : – En général on calcule : ● Exercice : – Montrer que p(u)

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Paramétrisation régulière ● Une paramétrisation est dite régulière si : ● Exercices : – Est-il possible que la courbe suivante ait une paramétrisation irrégulière ? – Que peut-on dire de l'injectivité de la paramétrisation si elle n'est pas régulière ? – Peut-on avoir une paramétrisation discontinue sur une courbe lisse ? p(0) p(1)

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Vecteur normale principale ● Problème : on connaît la tangente à la courbe et il existe une infinité de vecteur qui lui sont orthogonal. ● Exercice : – Montrez que la dérivée d'un vecteur à norme constante en u lui est orthogonale : on a montrez que ● Le vecteur normale principale N est défini à partir de la variation du vecteur tangente unitaire : T

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Repère de Frénet ● C'est un repère local en un point de la courbe : ● On évalue les vecteurs T, N et B au point P et le repère (trièdre) de Frénet est le repère (T,N,B), centré en P. ● (T,N) définit le plan osculateur ● (B,T) définit le plan rectificateur (tangent) ● (N,B) définit le plan normal T N B T N B

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Repère de Frénet ● Vecteur tangente unitaire T et vitesse v : ● Vecteur Binormal unitaire B et accélération a : ● Vecteur « Normale principale »: ● Le vecteur N pointe dans la direction du centre de courbure, ainsi, de part et d'autre d'un point d'inflexion, le repère « flip ».

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Courbure ● Par définition, le vecteur normale principale N est : où k est la courbure en p où est le rayon de courbure ● Exercice – Montrer que puis que ∂ T(s+∂s) T(s) Cercle osculateur kN T

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Courbure ● Courbure : ● Vecteur courbure : ● Rayon de courbure : ● point d'inflexion => k=0 ● k=0 => forcément un point d'inflexion ● Exercice – Montrer que les expressions (1) et (2) correspondent bien. P  P  =  k = 0 P  = 0 k =  (1) (2)

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Accélération ● Exercice : – Exprimez l'accélération en un point P d'une courbe paramétrique en fonction des vecteurs T et N. – Résultat : P N T R Q

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Torsion ● Vecteur torsion : ● Torsion : c'est la variation du vecteur binormal. ● Si la torsion est nulle tout au long de la courbe, la courbe est plane.

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Cubiques ● Ce sont les courbes polynomiales paramétriques de degrés 3. Leur représentation algébrique est la suivante: qui doit être comprise de la façon suivante: ● Comment un utilisateur peut-il tracer la courbe qu'il imagine ???? – C'est quasi impossible si la cubique est manipulée sous cette forme – Il est nécessaire d'introduire des paramètres de contrôle qui sont intuitifs et facile à manipuler

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Cubique d'Hermite ● L'équation de la cubique est reformulée en fonction de paramètres géométriques qui sont : son point de départ P 0 (u=0), son point d'arrivée P 1 (u=1) et leurs tangentes respectives V 0 et V 1. – Coefficients géométriques: d'où – Ce qui nous donne la représentation géométrique: avec

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Cubique d'Hermite : forme matricielle ● Ceci nous amène à une forme matricielle d'une cubique : ● Cette représentation est souvent appelée « cubique d'Hermite » ● Exercice – Reprendre ce calcul depuis le début

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Cubique d'Hermite : dérivées ● La dérivée (vitesse) de la cubique est une fonction quadratique ayant la forme matricielle suivante : ● La dérivée seconde (accélération) de la cubique est une fonction linéaire ayant la forme matricielle suivante : ● Exercice : – Retrouvez ces matrices par le calcul

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Exercices sur Hermite ● Calculez p(1/2). A l'aide des paramètres de contrôle de la cubique et de p(1/2), tracez la cubique d'Hermite dans les cas suivant : – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (1,1), V 1 (1,-1) – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (4,4), V 1 (4,-4) – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (8,8), V 1 (8,-8) – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (4,0), V 1 (4,0) – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (-4,0), V 1 (4,0) – P 0 (0,0), P 1 (2,0), V 0 (-4,0), V 1 (-4,0)

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Exercices sur Hermite ● Calculez – Que vaut si V 0 = 4  ( P 2 -P 0 ) et V 1 = 4  ( P 1 -P 2 ),   R – Qu'en déduisez vous ? P0P0 P1P1 P2P2 V0V0 V1V1

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Exercices sur Hermite ● Approximation d'une conique (utilisez les exercices précédents) : – D = intersection des tangentes – E = milieu du segment [A B] – C = point de la courbe pour u=1/2 – Une conique est définie par son rapport d'aspect : par exemple,  = ½ définit une parabole et  =  2 – 1 définit un arc de cercle. ● On souhaite approximer la conique avec une cubique. On va donc chercher la cubique qui passe par A,B et C et dont la tangente en C est parallèle à (AB). – Ecrivez les paramètres de contrôle de la cubique en fonction de A, B et D. Quels degrés de liberté avons-nous ? – Ecrivez p(1/2) en fonction de ces paramètres. En déduire EC en fonction de A, B et . – Soit F l'intersection entre la droite parallèle à (AD) passant par E et la droite (DB). Soit G l'intersection entre la droite parallèle à (DB) passant par C et la droite (EF). ● Démontrez que puis que ● En déduire la valeur de  A B C D E

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Changement de paramètre ● Soit : et Changement linéaire de paramètre : ● Exercice : – Montrez que :

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Interpolation ● Reconstruisez une courbe de continuité C 0 à partir des positions obtenues à différents temps t : ● Reconstruisez une courbe de continuité C 1 à partir de des mêmes positions : t=0 t=0.1 t=0.3 t=0.4 t=0.5 t=0.7 t=1 t=0 t=0.1 t=0.3 t=0.4 t=0.5 t=0.7 t=1

Géométrie Différentielle – Cubiques d'Hermite Raccordement C 2 ● Exercice : – Donnez les conditions sur les paramètres de contrôle de deux cubiques d'Hermite pour qu'elles soient raccordées avec une continuité C 2. – Si les courbes sont raccordées avec une continuité C 2, que peut on dire de la variation de la courbure le long des deux courbes ?