Marc ROLLAND professeur de mathématiques à l'IUFM centre d'Evreux.

Enseigner les mathématiques à l'école, où est le problème?

Faire des mathématiques à l'école, c'est: ● - Résoudre des problèmes. ● - Etudier des objets mathématiques. ● - Anticiper: pouvoir se passer de l'action, de la manipulation. ● - Faire des exercices: utiliser des outils.

Les contenus étant définis par les instructions officielles, c’est à dire les programmes de 2008.

PLAN I. Les différents types de séances. - La ou les séance(s) d’introduction. - Les séances d’entrainements / d’applications. - Les séances de réinvestissement. II. Les différentes phases d’une séance. - La tache du maître pendant les phases d’une séance d’introduction. - La tache du maître pendant les phases d’une séance d’application. III. La trace écrite de la phase de synthèse.

I. Les différents types de séances: ● - Les séances d'introduction. ● - Les séances d'entrainement / d'application. ● - Les séances de réinvestissement.

La ou les séance(s) d’introduction : ● La connaissance à introduire est la solution la plus efficace au problème posé, elle vient en réponse à un besoin.

● Elle passe toujours par 2 temps, un temps de manipulation pour chercher, pour donner du sens et un temps de « mathématisation ». ● Elle permet à son terme d’expliciter plus ou moins une nouveauté.

Exemple: Résolution de problèmes de groupements. 1° temps Résoudre un problème du type : Combien de morceaux de 20 cm peut-on découper dans un ruban de 148 cm?

Le problème est d'abord résolu par la manipulation: le découpage est réellement effectué. Il y a 7 morceaux de 20 cm dans un ruban de 148 cm => il y a 7 fois 20 dans 148. Cette phrase est écrite au tableau et elle y reste le temps de la résolution du deuxième problème.

2° temps Résoudre le même problème avec d'autres données : Combien de morceaux de 25 cm peut-on découper dans un ruban de 178 cm?

Il est maintenant demandé aux élèves de trouver la réponse sans découpage. Les élèves cherchent par 2 puis une mise en commun est effectuée.

La solution est donnée par la recherche de: combien de fois il y a 25 dans 178. La réponse est donnée par l'égalité: 178 = (7 X 25) + 3 Il y a mise en avant de la recherche du "combien de fois?"

– Exemples de séances d' introduction dans les manuels:

Autre situation possible : Distribuer 10 cubes par groupe d’élèves (2/3/4). « Quelles sont les différentes façons de faire 2 tours avec les 10 cubes ? »

Plan général d’étude d’une opération: ● - Travail préalable. ● - Introduction de l’opération et de son symbole comme schématisation de certaines situations. ● - Travail au niveau des écritures arithmétiques : le calcul

Les séances d’entrainement, d’application: ● Elles permettent d’appliquer cette notion, d’en comprendre le fonctionnement ● et le champ d’application.

OUI NON

Exemple : Soit le triangle ABC Un élève qui voit cette figure, quelles caractéristiques peut-il retenir ? - Posé sur une base horizontale. - Deux côtés de la même longueur. - Jaune…

Comparer: La comparaison est un procédé d'apprentissage de connaissance essentiel, comparer c'est être capable de repérer, de nommer les ressemblances et les différences.

En comparant une série d'exemples qu'on lui donne un enfant va pouvoir construire les couleurs, un adulte le concept de démocratie. L’abstraction est un cheminement, la modélisation mathématique est un travail. Comparer est un des chemins menant vers l’abstraction.

Attention aux séances d’introduction où la connaissance est simplement montrée à travers son fonctionnement mécanique (les séances de recettes), ce ne sont que des séances d'application déguisées. On réussit mieux et on retient mieux ce qu’on comprend !!!

● Exemples:

Questions révélatrices: - Quel est le nouvel apprentissage ? - Découle-t-il des productions des élèves ?

Les séances de réinvestissement. La notion va être maintenant utilisée comme un outil parmi d’autres lors d'une résolution de problème. C'est la réussite à ces problèmes qui témoignent de la maîtrise d’une connaissance: la capacité à mobiliser une connaissance en cas de besoin, la capacité à transférer. La question de l’évaluation se pose !!!

II. Les différentes phases d’une séance: ● - Passation des consignes : le maître présente la tâche de l’élève (en lien avec l’objectif de la séance). ● - Recherche : les élèves cherchent les réponses aux questions posées. ● - Mise en commun : les élèves présentent le résultat de leur recherche. ● - Synthèse : le maître reprend la parole avant de conclure la séance.

La tache du maître et de l'élève pendant les phases d’une séance d’introduction : Premier temps : manipulation (1 ou 2). L'élève utilise le matériel pour résoudre le problème et présente sa procédure.

Le maître s'assure que l'enfant s'engage correctement dans la manipulation, s'assure de la légitimité de la solution et synthétise oralement ou par écrit.

Deuxième temps : mathématisation (2, 3 ou 4). Les élèves élaborent, présentent et confrontent leurs procédures personnelles de résolution.

Le maître organise la confrontation, la comparaison des procédures. Il synthétise sur un nouvel apport.

La tache du maître et de l'élève pendant les phases d’une séance d’application : L'élève identifie le modèle de résolution qu'il est censé connaître puis effectuer le traitement choisi.

Le maître présente les différentes méthodes trouvées les valide. Il revient sur les erreurs pour les comprendre. Il met en avant la méthode experte.

Attention le maître met en avant la méthode experte... MAIS...

L’erreur: L’erreur n’est pas une faute, c’est l’expression d’une connaissance, d’un raisonnement. Apprendre c’est reconnaître qu'on s'est trompé et comprendre pourquoi.

Dans les situations d’introduction : ● Elles permettent de comprendre les contraintes de la situation. ● Elles justifient le besoin d’une nouvelle connaissance. ● Elles font évoluer les procédures.

Dans les situations d’application : ● Elles montrent une mauvaise compréhension. ● Elles doivent être analysées afin de proposer à certains élèves des réajustements adaptés. ● On ne propose pas la même chose à un élève qui ne connaît pas ces tables et à un élève qui gèrent mal ses retenues dans une multiplication posée.

Exemples:

Devinette Un escalier a plus de 15 marches et moins de 20 marches. En partant de l'étage, on arrive au rez-de- chaussée aussi bien en sautant les marches 2 à 2 qu’en les sautant 3 à 3. Trouve le nombre de marches de cet escalier.

Combien y a-t-il de gâteaux dans 5 paquets de 7 gâteaux ?

III. La trace écrite de la phase de synthèse : Il existe deux types d’écrits dans la synthèse mais ils doivent toujours se faire avec les élèves.

Les écrits de recherche : ce sont des traces de procédures, de conclusions intermédiaires qui permettront de prolonger la recherche dans un deuxième temps, dans une autre séance.

Exemple d'écrit de recherche: Il y a 7 morceaux de 20 cm dans un ruban de 148 cm => il y a 7 fois 20 dans 148.

Les écrits d'institutionnalisation : ils explicitent une nouvelle connaissance et doivent obligatoirement contenir une explication et une illustration.

Exemples d'institutionnalisation: Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. l’angle droit

Mais des questions se posent sur l'institutionnalisation : - Est-elle utile pour les élèves ? « Pour mesurer des longueurs, j’utilise un outil : règle, double décimètre, mètre… Quand je mesure, je peux employer les différentes unités : le centimètre (cm), le millimètre (mm), le décimètre (dm), le mètre (m). »

Cette question se pose pour tous les savoir- faire, quelle forme doit revêtir la trace écrite pour être utile aux élèves : Utilisation des outils de géométrie / Construction / Techniques opératoires.

Pour calculer plus facilement, on peut décomposer l’un des deux nombres : 12 × 6 Je sais que: 12 = × 6 = 60 2 × 6 = × 6 = = 72

Aucune institutionnalisation sur le calcul réfléchi. par exemple +9 ce n’est pas , mais des écrits de recherche.

- Est-elle en rapport avec l’activité, avec ce que les enfants ont retenus de la situation ?

- Est-elle exigible ? On se réfère aux Instruction officielles : par exemple sur les propriétés des diagonales d’un quadrilatère.

- A qui s’adresse-t-elle ? Aux élèves : c’est un support à l’apprentissage. Aux parents, aux inspecteurs : pour faire savoir qu’on a travaillé, si c’est le cas, elle est inutile !!!

CONCLUSION : Produire…. Prendre appui sur les productions… Pour construire avec les élèves.

Retrouver un descriptif détaillé de cette conférence sur mon site perso: