V Ondes Lumineuses V.1 Avant propos Champ électrique E Champ (ou induction) magnétique B La lumière Onde électromagnétique La propagation d’une onde lumineuse est donc caractérisée par la propagation d’un champ électrique et d’un champ magnétique. La théorie régissant cette propagation a été publiée la première fois par James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 suite à ses travaux à l’université de Cambridge. La vérification expérimentale de cette théorie n’a été réalisée qu’en 1888 par Heinrich HERTZ (1857-1894). Il créa des ondes électromagnétiques à l’aide d’un dispositif électrique. Bien que ces ondes (Hertziennes,  > 1 m) ne soient pas des ondes lumineuses, elles vinrent confirmer la théorie de Maxwell.

Les champs électriques sont produits par des charges électriques ou des magnétiques variables dans le temps Les champs magnétiques sont produits par des courants ou des charges électriques en mouvement. Une charge électrique en mouvement est entouré d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H Si la charge électrique est au repos il n’y a qu’un champ électrique. Champ électrique Il traduit la propriété de l’espace autour d’une charge électrique. Le champ électrique est un champ vectoriel. On peut définir en chaque point de l’espace une quantité qui traduit l’action d’une force sur une charge électrique. Cette force s’écrit :

Le champ électrique est irrotationnel Généralement, on utilise les lignes de champs pour matérialiser le champ électrique dans l’espace. La direction des lignes de champ en un point correspond à la direction du champ ou encore à la direction de la force exercée sur une charge positive. Les lignes de champs sont dirigées d’une charge positive vers une charge négative. Propriétés : Le champ électrique est irrotationnel Les lignes de champs ne sont jamais fermées Les lignes de champs ne se coupent jamais

Champ magnétique Il traduit la propriété d’une région soumise à une induction magnétique ou densité de flux magnétique B : Aimant permanent - conducteur parcouru par un courant De même que précédemment, on utilise les lignes de champs pour visualiser le champ magnétique. On prend les conventions suivantes : La direction des lignes de champ est par convention du pôle nord au pôle sud. La tangente en un point à une ligne de champ donne la direction que prendrait un aimant d’essai placé en ce point. Propriétés : Les lignes de champs magnétiques sont toujours fermées. Il n’existe pas de charges libres (monopôle). La densité des lignes de champ magnétiques est une mesure de la densité de flux magnétique.

V.2 Equations de Maxwell dans le vide Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique E et magnétique B. Elles s’écrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique  et une densité de courant j comme suit : Permittivité électrique du vide Perméabilité magnétique du vide Equation de Maxwell-Faraday Equation de Maxwell-Ampère Equation de Maxwell-Gauss Conservation du flux ou ou ou ou

On trouve aussi souvent la notation suivante : En définissant des nouveaux champs : Pour le vide : 0 et 0 sont des constantes.

Remarque : Les équations de Maxwell montrent qu’un champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement Si maintenant on se place loin des zones de charges (=0) et des sources de courant (j=0) : Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par exemple le rotationnel de la première équation :

Equation de Propagation A l’aide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire : Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels : Equation de Propagation On sait que : On obtient finalement une équation ne contenant que E. Avec

Equation de Propagation Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B : On sait que : Equation de Propagation Avec

Ces deux équations font du champ électromagnétique une onde Ces deux équations font du champ électromagnétique une onde. Les champs électrique E et magnétique B se propagent à la vitesse C. On va pouvoir donc utiliser les résultats du chapitre III V.3 Ondes planes sinusoïdales En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme d’ondes planes harmoniques. Dans le cas d’une onde progressive on écrira : Les composantes du champ magnétique sont déterminées à l’aide des équations de Maxwell. La constante C est fondamentale en physique. Par définition du mètre, elle est égale à 299 792 458 m/s. On prend généralement 300 000 km/s. Elle représente la limite absolu de la vitesse de déplacement. Avec et

V.3.1 Relations entre les champs Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe. Champ E: avec Champ véritable = partie réelle Champ B: avec Pour les opérateurs de dérivation on a: En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient : Partie réelle uniquement

Les deux champs sont en phase Les deux champs sont orthogonaux au vecteur d’onde k  Onde transversale forme un trièdre directe Les modules des champs sont proportionnels  V.3.2 Polarisation La polarisation définit l’orientation du champ électrique dans le temps. Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle On sait que le champ électrique est transversale : avec

Polarisation circulaire C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : + : polarisation droite - : polarisation gauche Polarisation rectiligne C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :

V.4 Aspect energétique La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting : Exemple d’une onde plane et avec

Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales n’interfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes La moyenne temporelle est égale à : ou encore

V.5 Conditions de continuité des ondes électromagnétiques Milieu 1 Milieu 2 Pour établir les expressions entre les différentes ondes (incidente, réfléchie et transmise), il faut écrire les relations de continuité à l’interface Onde incidente Onde transmise Onde réfléchie Soit une surface S limitée par un contour rectangulaire C petit. On sait que les équations de Maxwell sont vérifiées de partout, notamment la première : Milieu 1 A1 B1 Milieu 2 A2 B2

En intégrant sur la surface S : En utilisant la formule de Stokes on peut écrire : ou encore donc Finalement

Un raisonnement analogue sur la deuxième équation de Maxwell conduit à: Milieu 1 On considère maintenant la même surface mais avec des cylindres Milieu 2 On sait que :  : permittivité du milieu La formule d’Ostrogradsky ou de la divergence, nous permet d’ écrire :

Le vecteur est dirigé suivant la normale à la surface, donc on doit juste tenir compte des composantes normales des champs E. Le même raisonnement sur conduit à : Finalement les 4 équations de continuité sont : généralement on prend

V.6 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques V.6.1 Incidence normale Onde incidente On supposera que l’onde est polarisé rectilignement suivant Oy  E // Oy Milieu 1 Milieu 2 Onde incidente (Ei, Bi) Onde transmise (Et, Bt) Onde réfléchie (Er, Br) x k1 Ei Bi k2 Et Bt Er Br y Onde réfléchie Onde transmise

Equation de continuité en x=0 Continuité des composantes tangentielles de E Continuité des composantes tangentielles de B Si on utilise les valeur des indices de réfraction des deux milieux : On peut définir les coefficients de réflexion r et de transmission t : et

Polarisation parallèle au plan d’incidence V.6.2 Incidence quelconque Considérons un rayon de lumière non polarisée tombant sur l’interface entre deux milieu. Les différents paramètres du problèmes sont : i : Angle d’incidence ’r : Angle de réflexion r : Angle de réfraction D’après la loi de Snell, on peut écrire des relation entre les différents angles: Polarisation parallèle au plan d’incidence A tout instant, on peut décomposer l’onde incidente en deux composantes perpendiculaires : Une dont le champ électrique est contenu dans le plan d’incidence  appelée E|| (figure ci-contre) Une dont le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence  appelée E (figure page suivante)

Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence En utilisant les relations de continuité établies précédemment, il est possible de définir des coefficients de transmission et de réflexion pour les deux polarisation : Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence L’onde réfléchie est alors totalement polarisée perpendiculairement au plan d’incidence. L’angle d’incidence i correspondant est appelé angle de Brewster.