CHAPITRE 2 Théorème de Pythagore

Objectifs: Dans un triangle rectangle savoir donner une valeur exacte de la longueur d'un côté connaissant la longueur des deux autres. Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle connaissant la longueur de ses côtés. -Savoir démontrer qu'un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés. aaaaaa

Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud). Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule générale. Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.

Vocabulaire autour du triangle rectangle On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit. ABC est un triangle rectangle en A. A B C BÂC est l’angle droit. [AB] et [AC] sont les cotés de l’angle droit. [BC] est l’hypoténuse.

II. Théorème de Pythagore 1) L’énoncé du théorème Si un triangle est rectangle, alors la longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. A B C Autrement dit : Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB² + AC² = BC² Voir une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce lien: http://www.mathkang.org/swf/pythagore2.html Source: © 2003 ACL - les Éditions du Kangourou Remarque : Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un des trois côtés dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres.

2) Calcul de la longueur de l’hypoténuse 4 cm 3 cm A B Comme ABC est un triangle rectangle en A  avec AC = 3cm et AB = 4cm, ? d’après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AC² + AB² BC² = 3² + 4² BC² = 9 + 16 BC² = 25 en tapant avec la calculatrice Donc BC = 5 cm.

3) Calcul de la longueur d’un des côtés de l’angle droit 10,3 cm 5,4 cm E F Comme EFG est un triangle rectangle en E  avec GE = 5,4 cm et GF = 10,3 cm, d’après le théorème de Pythagore, on a : ? GF² = GE² + EF² 10,3² = 5,4² + EF² 106,09 = 29,16 + EF² Donc EF  8,8 cm.  EF² = 106,09 - 29,16 en tapant avec la calculatrice EF² = 76,93

III. Réciproque du théorème de Pythagore 1) L’énoncé de la réciproque Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés, alors le triangle est rectangle.  Autrement dit : Si, dans le triangle ABC, AB² + AC² = BC² alors le triangle ABC est rectangle en A. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle.

2) Démontrer qu’un triangle est rectangle ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13cm. Démontrer que ABC est un triangle rectangle. A 5 cm 12 cm 13 cm B C Vérifions si AB² + AC² = BC² D’une part : AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 D’autre part : BC² = 13² = 169 Puisque AB² + AC² = BC², Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

3) Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle MNP est un triangle tel que MN = 4 cm, NP = 8 cm et PM = 9 cm. N 4 cm 8 cm 9 cm M P MNP est-il un triangle rectangle ? Vérifions si PN² + NM² = PM² D’une part : PN² + NM² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 D’autre part : PM² = 9² = 81 Puisque PN² + NM²  PM² Alors MNP n’est pas un triangle rectangle . Remarque : ici, on ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Pythagore puisque PN² + NM² = PM² n’est pas vérifiée.