Exercice sur les faisceaux de cercles Xavier Scutenaire 6C
On considère les points A(3;0), B(0;4) et C(-1;-1).
1)Déterminer l équation de la droite AB et celle du cercle de diamètre [AB]. Premièrement, déterminons léquation de la droite AB de type y = mx + p grâce aux points A(3;0) et B(0;4) Premièrement, déterminons léquation de la droite AB de type y = mx + p grâce aux points A(3;0) et B(0;4) m = = - 4 => y = - 4x + p 0 –3 3 3 Considérons le point A(3;0), on a alors : 0 = - 4(3) + p => p = 4 3 Léquation de la droite AB est donc : y = - 4x + 4 ou encore 4x + y -4 = Ensuite, déterminons léquation du cercle C de diamètre [AB] Calculons les coordonnées de M, milieu de [AB] et centre du cercle de diamètre [AB]. (3;0)+(0;4) = (3;2) 2 2 Calculons ensuite le rayon du cercle C. MB = ((3-0)² + (2-4)²) = Léquation du cercle C est donc : x² + y² - 3x – 4y = 0 Graphique slide suivant
2) En déduire léquation générale des cercles comprenant A et B. 2) En déduire léquation générale des cercles comprenant A et B. Comme lensemble des cercles du faisceau comprend A et B, la droite AB est donc laxe radical des cercles du faisceau. Comme lensemble des cercles du faisceau comprend A et B, la droite AB est donc laxe radical des cercles du faisceau. Donc on a : (avec k qui est un nombre réel quelconque ) (x² + y² - 3x + 4y) + k ( 4x + y – 4 ) = 0 3 ou encore : x² + y² +(-3 + 4k)x +(-4 + k)y – 4k = Cette équation permet de générer lensemble des cercles passant par A et B, mais pas la droite AB, car la première partie de léquation na pas de coefficient variable.
3) Écrire léquation du cercle comprenant A, B et C. Le cercle comprenant A, B et C est donc généré par léquation du faisceau de cercle : Le cercle comprenant A, B et C est donc généré par léquation du faisceau de cercle : x² + y² +(-3 + 4k)x +(-4 + k)y – 4k = Mais il doit également passer par le point C (-1;-1), remplaçons donc x et y par -1 : (-3 + 4k)(-1) +(-4 + k)(-1) – 4k = – 4k + 4 – k – 4k = 0 3 k = Le cercle passant par A, B et C a donc pour équation : x² + y² +(-3 + 4*27)x +( )y – 4*27 = 0 3* * x² + y² - 21x – 49y -108 = Graphique slide suivant