Réussir une séquence de calcul mental Des outils pour la classe

Réussir une séquence de calcul mental – Des outils pour la classe Travail réalisé par Christelle Coin PE , Fabienne Jaffory-Glandier PE spécialisé, Christophe Carval PE, Dominique Dagiste Directeur, Eddy Thimon PEMF, Liliane Laguerre CPC Circonscription Fort-de-France 1 – Mars 2013

Sommaire - Cliquez sur le lien voulu NB : sur chaque diapositive, cliquez sur le bouton en bas à droite pour revenir au sommaire principal Importance du calcul mental Les progressions Le Lexique Calcul mental Faits numériques Procédures numériques Différencier faits numériques et procédures Calcul posé Calcul instrumenté Calcul réfléchi Institutionnalisation souple Systématisation Zoom sur la trace écrite - le tableau - les affichages didactiques - l’ardoise - le cahier La séquence type Phase de découverte Phase 2 : Institutionnalisation souple Phase 3 : Systématisation Phase 4 : Evaluation Exemples de séquence Ajouter 9 Multiplier par 11 Comment évaluer le calcul mental ? Plusieurs évaluations Les grilles de référence palier 1 Les grilles de référence palier 2 La table de Pythagore, un outil à exploiter Bibliographie

Importance du calcul mental, ce que disent les textes…  Au cycle 2 :   L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. …une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.  Les élèves mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5)  L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.  Selon le socle commun, palier 1 l’élève est capable de calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions, et des multiplications simples. sommaire

Importance du calcul mental, ce que disent les textes… Au cycle 3 L’élève renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition de mécanismes en mathématiques est toujours associée çà une intelligence de leur signification.  La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège.  Selon le socle commun, palier 2, l’élève est capable de calculer mentalement en utilisant les quatre opérations et d’estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. sommaire

Importance du calcul mental, un enseignement fondamental François Boule « … Le calcul mental vise à établir et renforcer des représentations numériques et la structuration de l’ensemble des nombres. C’est en cela qu’il contribue à une meilleure compréhension des opérations numériques et de leurs propriétés principales, toutes connaissances nécessaires en particulier à l’amélioration du calcul écrit ou instrumenté. » Le calcul mental au quotidien-scéren CRDP Bourgogne sommaire

Importance du calcul mental, un enseignement fondamental Autrement dit, une pratique quotidienne du calcul mental facilite :  la connaissance des nombres (construction, décomposition, numération décimale,…)  la maîtrise des techniques opératoires  la résolution des problèmes  l’évaluation de la pertinence de l’utilisation de la calculatrice sommaire

Importance du calcul mental, un enseignement fondamental  Développe les compétences 6 et 7 du socle, notamment en communication Les élèves apprennent à argumenter, justifier leurs réponses sommaire

Les progressions sommaire

Les progressions au cycle 2 Cours préparatoire Cours élémentaire première année - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”). - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant. - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Connaître la table de multiplication par 2. - Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100). - Résoudre des problèmes simples à une opération. - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000. - Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer. - Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc. - Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. - Calculer en ligne des suites d’opérations. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000). - Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. - Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). - Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. - Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements. - Utiliser les fonctions de base de la calculatrice. sommaire

Les progressions au cycle 3 Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Les nombres entiers jusqu’au million - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre entier. - Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60. Les nombres entiers jusqu’au milliard - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. Les nombres entiers Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement - Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. - Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction et multiplication. - Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. - Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé, où à l’aide de la calculatrice. - Utiliser les touches des opérations de la calculatrice. Problèmes - Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. - Division euclidienne de deux entiers. - Division décimale de deux entiers. - Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. Problèmes - Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. - Division d’un nombre décimal par un nombre entier. - Utiliser sa calculatrice à bon escient. Problèmes - Résoudre des problèmes de plus en plus complexes. sommaire

LE LEXIQUE sommaire

Le lexique : être au clair avec quelques expressions Cliquez sur le lien  Calcul mental  Faits numériques Procédures Différencier faits numériques et procédures  Calcul posé  Calcul instrumenté  Calcul réfléchi  Institutionnalisation souple  Systématisation sommaire

Le lexique - Le calcul mental Le calcul mental c’est l’ensemble constitué des faits numériques et des procédures. Enseigner le calcul mental, c’est donc enseigner les faits numériques et les procédures. C’est un préalable au calcul posé ! sommaire

Le lexique – les faits numériques  Les faits numériques font appel à la mémoire, on les mémorise  Mémorisation à construire en classe Apprendre les tables d’addition et de multiplication Les compléments à 10, à la dizaine supérieure, à 100 doubles, moitié, tiers,… multiples et diviseurs sommaire

Le lexique – les procédures Les procédures constituent un répertoire de techniques mobilisables issues d’un enseignement structuré qui ne se termine pas à l’école élémentaire Les procédures doivent être automatisées  Reconnaître les situations  Les maîtriser Un exemple : ajouter 9, multiplier par 11 Nécessiter de connaître les faits numériques sommaire

Différencier faits numériques et procédures Faits ou procédures numériques, à vous de jouer ? 5 x 2 12 x 11 10 – 5 56 – 29 45 + 27 50 : 2 65 + 38 sommaire

Différencier faits numériques et procédures Faits ou procédures numériques? 5 x 2  = 10,table de 2, ou de 5, résultat mémorisé, fait numérique 6 x 4 = 24, résultat mémorisé, fait numérique 12 x 11 = 12 x 10 + 12 x 1 = 120 + 12 = 132, procédure numérique 10 – 5 = 5, complément à 10, résultat mémorisé, fait numérique 56 – 29 = 56 – 30 + 1 = 26 + 1 = 27, procédure numérique 45 + 27 = 45 + 20 + 7 = 65 + 7 = 72 ou = 40 + 20 + 5 + 7 = 60 + 12 = 72 ou = 40 + 5 + 27 = 40 + 32 = 72, procédures numériques 50 : 2 = 25, moitié de 50, résultat mémorisé, fait numérique 65 + 38 = 65 + 40 – 2 = 105 – 2 = 103, procédure numérique sommaire

Attention !   sommaire

Lexique - Le calcul posé  Le prérequis : connaître les tables d’addition et les compléments à 10, avoir compris la numération de position  Apprentissage d’un algorithme, d’une technique opératoire  Les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division sommaire

Lexique – Le calcul instrumenté  C’est l’utilisation de la calculatrice  Un outil de vérification  Doit faire l’objet d’un apprentissage (vraisemblance du résultat) sommaire

Lexique – le calcul réfléchi  N’apparaît plus dans les programmes 2008 ! sommaire

Lexique – Institutionnalisation souple   sommaire

Lexique - systématisation  Entraînement avec application de la procédure privilégiée lors de l’institutionnalisation souple (15 minutes) – de 1 à 3 séances  L’ardoise = outil privilégié  Les jeux de confrontation sommaire

Enseigner une procédure La séquence type Enseigner une procédure sommaire

Cliquez sur le lien voulu La séquence type 4 grands moments : Cliquez sur le lien voulu Phase de découverte  Phase 2 : Institutionnalisation souple  Phase 3 : Systématisation  Phase 4 : Evaluation sommaire

La séquence type – Phase de découverte  Séance 1, de 30 à 45 minutes, séance la plus longue de la séquence Objectif : trouver une procédure de calcul La situation de départ : Un problème, un calcul, une question, avec des contraintes Recherche : individuelle ou en groupe selon la difficulté des procédures à acquérir, sur des affiches A3 qui seront utilisées comme affichage  Mise en commun : recensement des différentes procédures qui doivent être toutes explicitées par les élèves. Les procédures erronées sont écartées après explication.  Les affiches comportant les procédures justes sont collées dans la classe. Trace écrite : Les procédures sont notées sur le cahier de calcul mental, ou de mathématiques.   sommaire

La séquence type – Institutionnalisation souple  Phase 2 – Sélectionner les procédures les plus efficaces en fonction de l’objectif de l’enseignant (15 à 20 minutes)  Hiérarchiser la ou les procédures à privilégier Outils : l’ardoise, le cahier Trace écrite : Mise en relief des procédures retenues Activités en temps limité, contraintes plus fortes pour amener à se rendre compte qu’il y a des procédures plus rapides sommaire

La séquence type - Systématisation  Phase 3 – Entraînement avec application de la procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3 séances Outils : cahier, ardoise L’ardoise permet une évaluation formative. Les élèves en difficulté sont sollicités. NB : l’utilisation de l’ardoise nécessite une bonne maîtrise du procédé de La Martinière Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure n’est pas appropriée. sommaire

La séquence type – L’évaluation Phase 4 : Vérification des acquis des élèves  C’est le moment de l’évaluation sommative  Une seule séance  Outil : cahier de devoir, d’évaluation cf. Comment évaluer le calcul mental ? sommaire

Zoom sur la trace écrite sommaire

Zoom sur la trace écrite Plusieurs types de traces écrites  Les écrits collectifs - le tableau - les affichages didactiques  Les écrits individuels - l’ardoise - le cahier sommaire

Les écrits collectifs – Le tableau  Aide à la mise en forme, à la recherche, et à la correction  Collecte des informations (support de l’explication, du dialogue entre maître et classe) sommaire

Les écrits collectifs – le tableau L’élève explique sa démarche au reste de la classe Permet de montrer à l’ensemble de la classe plusieurs solutions au problème posé sommaire

Les écrits collectifs – les affichages didactiques  Fonction didactique de référence, mémoire des solutions proposées par les élèves. Les élèves pourront s’y référer lors des séances suivantes.  Valorisation des productions des élèves sommaire

On liste toutes les procédures proposées par les élèves On liste toutes les procédures proposées par les élèves. On hiérarchisera lors de la phase d’institutionnalisation souple. sommaire

Les écrits individuels – l’ardoise  Outil précieux pour l’enseignant : contrôle rapide des connaissances des tous les élèves lors de la phase de systématisation  Ciblage rapide des difficultés récurrentes  Correction plus immédiate  Peut être également utilisé lors de la phase de découverte en précisant aux élèves de noter la totalité de leur démarche sommaire

Les écrits individuels – l’ardoise Contrôle instantané des réponses, vision à la fois collective et individuelle sommaire

Les écrits individuels – l’ardoise Permet une comparaison des diverses solutions : les différentes propositions seront explicitées. On écartera les solutions erronées après justification. sommaire

Les écrits individuels – les cahiers  Cahier de calcul mental Sera utilisé pour noter toutes les procédures justes proposées par les élèves, lors de la phase de découverte Lors de l’institutionnalisation souple pour mettre en évidence la ou les procédure(s) privilégiée(s) Lors de la systématisation pour les exercices d’entraînement  Cahier de devoirs ou d’évaluation Lors de l’évaluation sommative, phase 4 de la démarche sommaire

Les écrits individuels – les cahiers Un exemple de cahier de calcul mental Les procédures Exercices d’entraînement Phase de systématisation sommaire

EXEMPLES DE SEQUENCE sommaire

Exemples de séquences Ajouter 9 Multiplier par 11 sommaire

Un exemple de séquence – Ajouter 9 Phase de découverte Situation de départ : Notre classe compte 25 élèves. 9 élèves d’une autre classe viennent chanter avec nous. Combien d’élèves y aura-t-il en tout ?  Contraintes : trouve le résultat sans poser le calcul, sans calculatrice, et le plus rapidement possible.   Les procédures possibles :  25 + 9 = 34 par sur comptage  25 + 9 = 25 + 5 + 4 = 30 + 4 (décomposition du 9)  25 + 9 = 24 + 1 + 9 (décomposition du nombre initial)  25 + 9 = 20 + 5 + 9 = 20 + 14  25 + 9 = 25 + 10 – 1  25 + 9 =25 – 1 + 10 Toutes ces solutions seront notées sur la feuille A3 et affichées dans la classe. Elles seront également copiées dans le cahier de calcul mental. sommaire

Les différentes procédures sont notées dans le cahier de calcul mental sommaire

Ajouter 9 Phase 2 : Institutionnalisation souple sommaire

Ajouter 9 Phase 3 – Systématisation : Entraînement avec application de la procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3 séances (selon le niveau des élèves) Outils : cahier, ardoise   Séance 1 de la phase de systématisation La séance commence par un rappel de la ou les procédures privilégiées puis les élèves travaillent sur l’ardoise. 46 + 9 ; 53 + 9 ; 68 + 9 ; 93 +9, …. Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure n’est pas appropriée. 40 + 9 ; 31 + 9 ; 2 + 9 Faire les élèves oraliser sur le fait que la procédure peut ne plus être pertinente, notamment, dans le cas de la dizaine ronde, des petits calculs additifs sommaire

Ajouter 9 Ajouter 9 sommaire

Ajouter 9 Phase 3 (suite) : Exemples de petits problèmes Séances 2, 3 de la phase de systématisation Introduction des problèmes, des jeux, des nombres plus grands   Exemples de petits problèmes Lors d'une épreuve de saut , Un participant classé 12ème a sauté à 102 m, soit 9 m de moins que le premier. Quelle distance a réalisée le gagnant? Un téléphone portable qui valait 158 euros a subi une augmentation de 9 euros. Quel est son nouveau prix? Lors d'une course, un homme a passé 336 heures en mer avant de franchir la ligne d'arrivée en tête; le deuxième avait 9 heures de retard sur lui. Combien de temps le second est-il resté en mer? sommaire

Un exemple de séquence – Multiplier par 11 Séquence à venir sommaire

Evaluer le calcul mental sommaire

Evaluer le calcul mental Evaluation…  Diagnostique, avant de commencer l’apprentissage  Formative, dès la deuxième phase  Sommative à la fin de la séquence  Evaluation formative sur l’ardoise ou sur le cahier de calcul mental, à l’aide de jeux  Evaluation sommative, sur le cahier de devoirs  Importance de la variable didactique, temps Utiliser les grilles de référence sommaire

Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 1 Items Explicitation des items Indications pour l’évaluation Diviser par 2 et par 5 dans le cas où le quotient exact est entier Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit : - par de courts exercices dédiés ; - dans le cadre de la résolution d’un problème de partage ou de groupement ; - dans le cadre du calcul ou de la recherche de la moitié d’un nombre donné (cas de la division par 2). Le signe de la division est « : ». La technique opératoire (potence) n’est pas exigible mais son usage pour calculer une division, même simple, est accepté. Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d’addition). - Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas, le temps de réponse est limité). Elle ne se réduit pas à une récitation des tables. Cet item peut aussi être évalué à l’occasion d’opérations posées. Proposer des opérations du type : - 8 + 7 =… ; 17 = 8 + … ; 14 – 6 =… ; - de 6 à 10 ? de 43 à la dizaine supérieure ? - le double de 8, de 20, de 300 ; - la moitié de 400, de 50, de 18 ; - 4 fois 8 ? 8 fois 4 ? 3 multiplié par 7 ? 7 multiplié par 3 ? - en 36 combien de fois 4 ? en 36 combien de fois 9 ? - 24 c’est ..? Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas l’élève ne doit ni poser l’opération, ni écrire de calculs intermédiaires). Le temps de réponse est limité. L’énoncé peut être écrit au tableau ou donné oralement. Proposer : - des tâches du type « calcule mentalement le résultat de 27+15 … » ; - des problèmes à données numériques très simples. sommaire

Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 2 Item Explicitation des items Indications pour l’évaluation Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas, le temps de réponse est limité). Elle ne se réduit pas à une récitation des tables. Cet item peut aussi être évalué à l’occasion d’opérations posées. Proposer des opérations du type : - 8 + 7 =… ; 17 = 8 + … ; 14 - 6 = … ; - quel est l’écart entre 6 et 10 ? quel est l’écart entre 43 et la dizaine supérieure ? - quel est le double de 8, de 20, de 300 ? quelle est la moitié de 400, de 50, de 18 ? - combien font 4 fois 8 , 8 fois 4, combien font 3 multiplié par 7, 7 multiplié par 3 ? - en 36 combien y a-t-il de fois 4 ? en 36 combien y a-t-il de fois 9 ? - 24 c’est … Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations - - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple et tiers, quadruple et quart d’un nombre entier. - Notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. - Calculer mentalement des sommes, des différences et des produits. - Multiplier et diviser mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000. L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit : dans ce cas l’élève ne doit pas poser l’opération ni écrire de calculs intermédiaires. Le temps est limité. L’énoncé peut être écrit au tableau ou donné oralement. Proposer des situations d’évaluation variées, qui amènent à mobiliser : - la connaissance des nombres et les principes de la numération décimale de position ; - les tables d’addition et de multiplication. Les situations d’évaluation mobilisent aussi les principales propriétés des opérations : - la commutativité ; - l’associativité ; - la distributivité de la multiplication sur l’addition. Ces termes n’ont pas à être connus des élèves. L’évaluation peut consister en : - des tâches du type « calcule mentalement …» ; - des problèmes à données numériques très simples. sommaire

La table de Pythagore – un outil à exploiter sommaire

BIBLIOGRAPHIE sommaire

Bibliographie Tout pour la calcul mental, CE2, CM1, CM2 Magnard Le calcul mental au quotidien, cycle 2, cycle 3, CRDP de bourgogne CLR 1000 exercices de calcul mental CE2/CM - Livre de l'élève - Ed.2011 Hachette éducation sommaire

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Pour finir… A retenir : le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne, selon un apprentissage structuré ! Ce diaporama est en cours d’élaboration. Il sera complété prochainement. N’hésitez à la consulter régulièrement ! sommaire