Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay NOMBRES ENTIERS ET NUMERATION Cycle 2

Roland Charnay 2 26/09/ Roland Charnay Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Langage - analogique - verbal - symbolique Propriétés - utilisées implicitement - connues explicitement Problèmes qu'il permet de résoudre Apprendre un concept : différents aspects à prendre en compte

26/09/ Roland Charnay Exemple du triple code : petits nombres 5 cinq 3

26/09/ Roland Charnay Exemple du triple code : numération décimale 173 cent soixante- treize 4

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay PLAN Des repères sur… La notion de nombre, de la maternelle au CP Le calcul mental 5

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay LA NOTION DE NOMBRE De la Maternelle au CP 6

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos 7

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay L'acquisition de la comptine Quelques étapes de 2 à 6 ans Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize apprentissage lent et difficile 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante appui sur des régularités à partir de vingt Mais savoir réciter, ce n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser 8

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Connaître la "comptine" Vers 6 ans A partir de 1 jusqu'à… A partir de … jusqu'à… A rebours (décompter) Utilisation pour dénombrer et traiter des questions d'augmentation et de diminution A partir de 6-7 ans Compter et décompter n nombres à partir de … Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés 9

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Dénombrement Plusieurs compétences à développer Subitizing 10

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Quantités repères : constellations, doigts… 11

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Comptage un par un (3 principes importants) un deux trois huit un deux trois 12

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Estimation 13

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Quatre objectifs importants pour la GS A quoi servent les nombres ? Exprimer les quantités pour les mémoriser Repérer et exprimer des positions dans une liste Traiter des problèmes "arithmétiques" (sans l'objectif de travailler le calcul) Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique 14

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre un deux trois quatre cinq un deux trois quatre cinq

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Compléter une collection pour la rendre équipotente… Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal Indiquer une position Replacer un objet à sa position Comparer des positions 16

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay A quoi servent les nombres ? Garder la mémoire des quantités (un exemple) Un problème de référence Préparer juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot Un type de problème à faire vivre en maternelle au CP D’après Cap maths CP 17

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Un problème qui évolue… Les gommettes sont proches du robot Les placer. Les préparer sur un plateau avant de les placer. Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles). Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot. Les demander oralement Les commander par écrit 18

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Des variantes pour ce type de problèmes Les gommettes sont disponibles à l’unité Les gommettes sont disponibles en paquets (de 2, de 5, etc.) Les gommettes sont disponibles à l’unité et en paquets de

Roland Charnay /09/ Roland Charnay Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut la prolonger.

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Les nombres outil pour anticiper Aspect cardinal : quantités Résultat d’une augmentation ou d’une diminution Valeur de la transformation Etat avant transformation Résultat d’un partage Aspect ordinal : positions dans une liste rangée Position après un déplacement (en avant ou en arrière) Valeur du déplacement Position avant déplacement 21

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Dix dans la boîte - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup. 22

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant Vers le complément 23

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Quelles procédures ? Dessin et dénombrement Recomptage mental ou aidé (doigts…) Surcomptage mental ou aidé (doigts…) Décomptage mental ou aidé (doigts…) Double comptage de … à …mental ou aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus 24

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures 25

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay EN RESUME… GS Donner du sens aux nombres (problèmes) Consolider des compétences « techniques », par exemple relatives à la comptine, surtout orale CP Travailler rapidement sur un domaine assez étendu Poursuivre le travail sur le sens Structurer et étendre les compétences techniques Structurer les désignations écrites, puis orales 26

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay LE CALCUL MENTAL L’exemple de l’apprentissage des tables 27

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Quel travail en maternelle-CP prépare au calcul mental ? 28

26/09/ Roland Charnay Trois catégories de procédures Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) Appui sur l’aspect ordinal File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2 Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé

26/09/ Roland Charnay Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4) 30

26/09/ Roland Charnay Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5) File numérique

26/09/ Roland Charnay Les relations avec les doubles 32

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Comment aider les élèves à mémoriser les tables ? 33

Roland Charnay 26/09/ Roland Charnay Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ? Exemple avec et sont égaux à 13 Pour aller de 6 à 13, il y a 7 Pour aller de 7 à 13, il y a 6 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 13 se décompose, entre autres, en et en

26/09/ Roland Charnay Addition et multiplication Des conditions différentes Addition Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction instantanée Multiplication Mémorisation complète 35

26/09/ Roland Charnay Addition et multiplication Des points d’appui pour la mémorisation 36

26/09/ Roland Charnay Comprendre aide à mémoriser (référence, contrôle) Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de quantités Ordinal : avancer sur une piste numérotée Multiplication sous un triple aspect Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de quantités Addition itérée ( fois) Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés 37

26/09/ Roland Charnay Répertorier et organiser aide à les mémoriser Rassembler des résultats en vrac (affiche) Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent 38

26/09/ Roland Charnay Organisation sous forme de listes (CP, CE1) 39

26/09/ Roland Charnay Organisation sous forme de tableau (à partir du CE2) 40

26/09/ Roland Charnay Points d’appui pour la mémorisation Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5 S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins 41

26/09/ Roland Charnay Etapes de la mémorisation (par zones numériques pour l’addition) 42

26/09/ Roland Charnay Etapes de la mémorisation (par tables pour la multiplication ) Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = = 9 Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !)

26/09/ Roland Charnay Autres conditions S’entraîner, répéter Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à apprendre Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » 44