2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Systèmes de coordonnées Position de M définie par des coordonnées : Cartésiennes (1D, 2D, 3D) Cylindriques (3D) Polaires (2D) Sphériques (3D) Quelconque, glissière rectiligne Symétrie de révolution (axe), glissière circulaire Symétrie autour d’1 point fixe

Coordonnées cartésiennes M  N dans le plan z selon Oz N  x selon Ox y selon Oy M(ex, ey, ez) appelé repère local O M z x y N x(t) y(t) z(t) = coord. cartésiennes

Coordonnées cartésiennes (2) Dans le déplacement de M, ex, ey et ez : Gardent la même longueur (norme =1) Gardent même direction et sens Pour l’observateur « attaché à » O(i, j, k) dex/dt=0 dey/dt=0 dez/dt=0

Coordonnées cylindriques M  N dans le plan z selon Oz N repéré par : θ(t) = (i, ON) r(t) = ON r(t) (t) z(t) = coord. cylindriques O M z(t) N θ(t)

Coordonnées cylindriques (2) Lien avec les coord. cartésiennes : z(t) identique ON fait θ(t) avec Ox => x(t) = r(t)cos θ(t) ON fait π/2 - θ(t) avec Oy => y(t) = r(t)sin θ(t) ou : r(t) = x² + y² θ(t) = tan-1(y/x)

Coord. Cylindriques (3) Vecteur position : x(t) y(t) OM = r(t)cos θ(t) i + r(t)sin θ(t) j + z(t) k ou OM = r(t) {cos θ(t) i + sin θ(t) j } + z(t) k (1)

Repère local associé er // ON, norme = 1 er = ON / r(t) (2) eθ fait +π/2 dans le plan horizontal passant par M ez = er ^ eθ ez = k O M N θ(t) z(t)

Expression de la base locale Vecteur position : OM = ON + NM = r(t) er + z(t) k comparé avec (1) : er = cos θ(t) i + sin θ(t) j (3) notation « juste » er(θ) ou er(θ(t)) !

Expression de la base locale (2) eθ = er (θ+π/2) = cos (θ+π/2) i + sin (θ+π/2) j eθ = - sinθ(t) i + cos θ(t) j (4) θ er eθ

Application du produit vectoriel er^eθ = k ?

Évolution de la base locale Dans le déplacement de M, er, eθ et ez : Gardent la même longueur (norme =1) er , eθ changent de direction (θ variable) Pour l’observateur attaché à O(i, j, k) der/dt 0 deθ/dt  0 dez/dt =0

Évolution de la base locale (2) (3) : er = cos θ(t) i + sin θ(t) j der/dt = - sinθ(t)× θ i + cos θ(t)× θ j (4) : eθ = - sin θ(t) i + cos θ(t) j deθ/dt = - cosθ(t)× θ i - sin θ(t)× θ j der/dt = θ eθ ; deθ/dt = - θ er

Application .. En coord. cylindriques, repère de dérivation  repère d’écriture ! Règle de dérivation habituelle FAUSSE !! V1 = 10t er + 4t² ez avec θ(t) = 3t dV1/dt = 10er + 8t ez ? dV1/dt = (10t er)' + (4t²ez)' = 10 er + 10t (der/dt) + 8t ez = 10er + 30t eθ + 8t ez

Coordonnées polaires Restriction dans un plan horizontal (z= cste ou z=0) des coordonnées cylindriques r(t) appelé rayon polaire θ(t) angle polaire

Coordonnées sphériques M repéré par : 2 angles θ(t) , φ(t) sa distance r(t) = OM O M   r N Repère local er , eθ , eφ

Coordonnées sphériques (2) Utilisé en ELM (ondes …) Coordonnées géographiques : Latitude  = π/2 – θ Longitude = φ  φ Méridien de Greenwich

trajectoire Équation de la trajectoire : f(x,y,z) ou g(r,θ) … Ensemble des points (positions) occupées par M lors du mouvement Liée à l’observateur (notion relative) Équation de la trajectoire : f(x,y,z) ou g(r,θ) … Exemple : y(x) = x² , x² + y² = 4 r(θ) = p / (1+ e cos θ)

Trajectoire (2) Trajectoire paramétrique (lois horaires) Ensemble des lois x(t), y(t), z(t) ou r(t) θ(t) z(t) …. + domaine de variation de t x(t) = 1 + t (m) y(t) = t² z(t) = 4/3 t3/2 0 t 2 (s)

t=0 t=2s

Abscisse curviligne Mesure de la longueur sur une trajectoire de t0 à t1 notation OM ( OM) ou s(t) M1M2 = OM2 – OM1 = s(t2) – s(t1) méthode de calcul ?

Abscisse curviligne (2) s(t2) s(t1)

Vecteur tangent à la trajectoire T colinéaire à v(M), || T || = 1 T = v(M) / v v = || v(M) ||

Vecteur tangent (2) v(M) T

Vecteur tangent (3) # Exemple x(t) = t y(t) = 1 + t² 0  t  4 …… Tx = 1/ 1+4t² Ty = 2t/ 1+4t²