Emmanuel BIOUX Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ Loïc TONNELIER Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ Loïc TONNELIER

Sommaire Introduction Modélisation des options exotiques Simulation des options exotiques Conclusion

PARTIE 1 Modélisation des options exotiques

Modélisation des options Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent I) Les option Non-Path-Dependent Le prix dépend du chemin suivi par le sous jacent II) Les options Path-Dependent Le prix ne dépend pas du chemin suivi par le sous jacent

Différentes options exotiques Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent

Options Non Path Dependent Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent On s’intéresse qu’à la valeur du sous-jacent à maturité de l’option, et non durant sa vie 3 principales options non Path dependent : Option binaire Option à panier Option Contingente

4 types d’options binaires : Les options Binaire I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Option dont le Pay-Off dépend du franchissement par le sous-jacent à l’échéance de l’option d’un niveau de cours prédéterminé 4 types d’options binaires : All or Nothing Asset or Nothing Gap Contingent Premium

Pay-Off des options binaires I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent

Pay-Off des options binaires I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Pour simplifier : Avec :

Pourquoi utiliser des options binaires ? I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Certitude du Pay-Off Flexibilité pour le client Vente d’options binaires tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes

Modélisation des options Binaires en Temps Discret I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent

Modélisation des options Binaires en Temps Continu I) Opt. Non Path Dependent 1) Options Binaire a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Asset Or Nothing : Gap : Avec :

Formation d’un indice synthétique : le panier Les options à panier I) Opt. Non Path Dependent 2) Option à panier a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent L’actif sous-jacent servant à déterminer le Pay-Off est composé de plusieurs actifs avec une pondération déterminé par avance Formation d’un indice synthétique : le panier

Pourquoi utiliser des options à panier ? I) Opt. Non Path Dependent 2) Option à panier a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Réduction du prix Diversification des risques Choix de la devise de référence

Modélisation des options à panier I) Opt. Non Path Dependent 2) Option à panier a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Approximation : A+B est lognormal Utilisation de la formule de Black&Scholes

Les options Chooser I) Opt. Non Path Dependent 3) Option chooser a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Permet de choisir à l’échéance entre un Call et un Put de strike prédéfini

Pourquoi utiliser des options chooser ? I) Opt. Non Path Dependent 3) Option chooser a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent Incertitude sur l’évolution du sous-jacent : Élection dont l’issue n’est pas sûr Conflit armé Négociation avec l’Irak

Modélisation des options chooser I) Opt. Non Path Dependent 3) Option chooser a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation II) Opt. Path Dependent En temps continu : Pricing : Avec :

Options Path Dependent Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent Leur Pay-Off dépend de la valeur du sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option 3 principales options Path dependent : Option Barrière Option Look Back Option Asiatique

Les options Barrière Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Valeur à l’échéance dépend du franchissement au cours de vie d’une barrière Différents types : Barrière activantes (in) Barrière désactivantes (out)

Pay-off d’un call Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation

Pay-off d’un put Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation

Pourquoi utiliser des Options à barrières ? Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Prix des options comparées aux options standards Grande flexibilité Levier et rendement important

3 Types d’options Lookback : Les options LookBack Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation On ne retient parmi les niveaux atteints par le sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option que la valeur la plus favorable pour le détenteur de l’option 3 Types d’options Lookback : Price Lookback Strike Lookback Partial LookBack

Price LookBack Option Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice défini à l’origine, et le cours le plus favorable

Strike LookBack Option Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice le plus favorable et le cours à l’échéance

Partial LookBack Option Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Partial LookForward : Partial Strike LookBack :

Pourquoi utiliser des options lookback ? Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Capter les points extrêmes La vente d’options lookback permet de bénéficier de primes élevées

Les options Asiatique Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation La valeur à l’échéance dépend du prix moyen de l’actif sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option Avec :

Pourquoi utiliser une option Asiatique ? Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Réduction du risque Flexibilité du produit Prix d’acquisition

Modélisation des options Asiatiques Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Moyenne géométrique

Modélisation des options Asiatiques Partie 1 : Modélisation des opt. I) Opt. Non Path Dependent II) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts c) Modélisation Moyenne arithmétique Avec : moyenne calculée entre et

PARTIE 2 Simulation des options exotiques

Simulation des options exotiques Introduction Modélisation Simulations d’actif Path independ Génération de variables normalement distribuées Génération de variables uniformément distribuées Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en normalement distribuée Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées Qualité du résultat Comparaisons des résultats Path dependent Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière

Modélisation S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel que, dans l'univers risque neutre : Le lemme d'Itô, suivie d'une intégration donne:

Simulations d’actif

Path independ (1/3) Seule la valeur de l’actif à l’échéance compte Cas d’un call :

Path independ (2/3)

Path independ (3/3) L’erreur doit tendre vers 0 lorsque l’on augmente N Le choix du générateur aléatoire est donc capital

Génération de variables normalement distribuées La simulation de variables distribuées selon cette loi exige d'abord la génération de variables uniformément distribuées

Génération de variables uniformément distribuées Les Générateurs Linéaires Congruentiels Xn=(a Xn-1 + b) mod m Le choix des constantes n’est pas à négliger : m = 1012 - 11 a = 427419669081 b = 0:

Génération de variables uniformément distribuées Les Registres à Décalage à Rétroaction Linéaire Le registre est successivement à la valeur 0111, 0011, 0001, 1000, 0100...

Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en normalement distribuée Inversion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite Inversion de Moro

Performances temporelles Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées Performances temporelles

Qualité du résultat Cf p72

Comparaisons des résultats

Path dependent barrière Down & Out  option annulée

Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière Andersen et Brotherton-Ratcliffe (1996)

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