Delta-Hedging d’une option digitale et approche par Bull Spread SEN Serdar AMADEL Mohcine ZALBA Juan Année : 2011/2012

Sommaire Introduction I-Calcul du Delta d’une option digitale II-Option Bull Spread III- Méthode d’approximation de l’option digitale 1) Approximation du prix de l’option digitale 2) Approximation de delta de l’option digitale IV- Comportements de l’option digitale approché 1) Comportement du delta approché 2) Comportement temporel de l’option digitale approché V- Simulations du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Conclusion

Introduction Une option Call Digitale est une option qui donne le droit à un euro à une échéance T si le Strike K est dépassé par l’actif à cette date T, et 0 sinon. Payoff du Call Digitale : Digitale européenne Digitale américaine

Introduction Notre étude est basé sur les digitales européennes, dans le cadre du modèle de Black Scholes. But du projet : Utiliser les options vanilles simples pour approcher le payoff d’une digitale Calculer le Delta approchée de la digitale grâce aux options vanille simples. Réaliser une couverture en Delta approchée de l’option digitale.

I. Calcul du delta d’une option digitale Payoff du Call Digitale : Prix de l’option : Delta : En en déduit le delta de la digitale : Le delta de la digitale diverge à l’approche de la maturité, c’est la raison pour laquelle on va utiliser des options vanilles simple pour approximer le delta de la digitale.

II. Option Bull Spread Un Bull Spread est défini par : - Achat d’un Call C1 de Strike K1 - Vente d’un Call C2 de Strike K2 > K1 Pour K2 et K1 trés proche le payoff de la Bull Spread s’approche du payoff de l’option Call Digitale Sous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull Spread ST < K1 K2 < ST < K1 ST - K1 ST > K2 - (ST - K2) K2 - K1

II. Option Bull Spread Sous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull Spread ST < K1 K2 < ST < K1 ST - K1 ST > K2 - (ST - K2) K2 - K1 Pour on a On prend , dans ce cas Si j’achète le payoff devient : Exemple : Si je doit acheter Bull Spreads pour que le payoff vaille 1 (valeur du payoff d’une digitale).

III. Méthode d’approximation de l’option digitale 1) Approximation du prix de l’option digitale Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de : - achat Call C1 de Strike K - vente Call C2 de Strike 2.Calcul des prix sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread : 3.On obtient le prix du Bull Spread : Prix Bull Spread = C1 - C2 4.Calcul du prix de l’option digitale approchée :

III. Méthode d’approximation de l’option digitalec 1) Approximation du prix de l’option digitale Dans la suite les différentes graphiques et résultats que nous obtiendront seront suivant ces paramètres :

III. Méthode d’approximation de l’option digitale 1) Approximation du prix de l’option digitale Prix Digital Approché pour є = 0,1 à 0,001 On remarque que plus є est petit plus le prix du digital approché tend vers le vrai prix de l’option digital

III. Méthode d’approximation de l’option digitale 2) Approximation de delta de l’option digitale Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de : - achat Call C1 de Strike K - vente Call C2 de Strike 2.Calcul le delta sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread : On a : 3.Le delta du Bull Spread s’obtient par : 4.Finalement le Delta approché de l’option digitale est :

IV. Comportements de l’option digitale approché 1) Comportement du delta approché Delta du digitale en t=0

IV. Comportements de l’option digitale approché 2) Comportement temporel de l’option digitale approché

IV. Comportements de l’option digitale approché 2) Comportement temporel de l’option digitale approché

IV. Comportements de l’option digitale approché 2) Comportement temporel de l’option digitale approché On remarque que à l’approche de la maturité le prix de la digitale approché diffère très légèrement du prix du digital original. Cette différence est moins important pour є très petit.

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Portefeuille de couverture : Quantité de sous-jacent à acheter : Emprunt au taux sans risque : Etape de calcul : 1.Couverture sur une grille discrète : 2.On se place dans le cadre de Black Scholes 3.Calcul du delta approché : 4.Dynamique discrète du portefeuille : Avec : 5.Erreur de couverture :

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture On remarque que l’erreur de couverture est plus petit pour un rebalancement à haute fréquences Page 22

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Rebalancement trimestriel Page 23

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Rebalancement mensuel

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Rebalancement bi-mensuel

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Rebalancement hebdomadaire

V- Simulation du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture Rebalancement bi-hebdomadaire

CONCLUSION