Généralités

Asservissements 1 – Position du problème Convoyeur v V = 0 V = Vn V t A A B B Besoins industriels :  Tâches bien définies,  Gains de production,  Sécurité (des personnes et du matériel). Exemple: Amener une bouteille d’un point A à un point B Sans faire tomber la bouteille. un système performant doit être Précision Rapidité Stabilité précis, rapide et stable.

En régle générale, l'opérateur, qui doit ajuster la position du convoyeur, dispose d'un pupitre où il affiche directement la position souhaitée. Cette grandeur, différente de la position effective mesurée x du tapis roulant, est appelée consigne c(t). 2 - Cadre de l'étude : Systèmes linéaires Exemples d’actionneurs industriels : Moteur Vérin hydraulique ou pneumatique FoursLampes Piézoélectriques … Ces actionneurs sont souvent linéaires. Ils satisfont à la théorie des systèmes linéaires où la sortie est proportionnelle à l’entrée. (Nous nous limitons à l'étude de ces systèmes dans ce cours) 3 - Définition du système et autres définitions Considérons le système convoyeur-bouteille = Bouteille + tapis roulant + moteur à courant continu. entrée e(t) = tension de commande u(t) du moteur, sortie s(t) = x(t) position de la bouteille (ce peut être aussi v(t) sa vitesse). la relation qui lie s(t) et e(t) est linéaire. Définition 1 : Grandeur de consigne.

c u Définition 2 : Grandeur de commande u. Entrée de l'actionneur (tension de commande du moteur) différente de la consigne (graduation du potentiomètre sur le pupitre de consigne). On l'appelle commande u. Définition 3 : Gain statique. Lorsque c’est possible (exemple : asservissement de vitesse) la linéarité permet d'écrire, en régime permanent : v = k u où k est le gain statique de la fonction de transfert F(p) du système. (Gain à p=0) A priori la grandeur correspondant à un potentiomètre est un angle. On peut (par linéarité) le graduer dans la grandeur de commande (ici, tension). On peut aussi graduer le potentiomètre de consigne directement selon la grandeur de sortie il s’agit d’une conversion d'échelle dans le rapport 1/k. Notre système convoyeur prend alors la structure par schéma blocs suivante de gain statique 1.

r Moteur asservi en position : commande = échelon de tension, le moteur tourne indéfiniment, la sortie x évolue indéfiniment en rampe. t s=x 4 - Performances du système seul e=u Ces performances intrinsèques ne sont que rarement adaptées au cahier des charges de l'industriel. Pour un système linéaire passe bas (exemple moteur asservis en vitesse) soumis à un échelon de consigne: on observe les réponses temporelles : c,s t t t c s t 0 t c s s c t t 0 s c t r La réponse 1 correspond à un système lent très amorti (Elle possède éventuellement un retard tr). La réponse 2 est de type 1er ordre. La réponse 3 est oscillatoire amortie (Elle possède éventuellement un retard tr). La réponse 4 est instable. Elle ne dépend pas de l’entrée.

La grandeur physique de sortie du système est en général inexploitable telle quel. On la mesure donc par un capteur (une dynamo tachymétrique dans l'exemple du moteur) qui délivre une tension proportionnelle à la mesure. On l'appelle mesure m. c 5 - Système asservi But des asservissements Résoudre le problème : sortie = consigne La puissance nécessaire est apportée par le système Principe d'un asservissement - étude du gain statique - Exemple d’une grue : Pour résoudre le problème on asservit le système. Il s’agit d’un montage bouclé utilisant une mesure de la sortie que l’on compare à la consigne. Nécessité d’un comparateur : pilotage d’une voiture. Si la sortie dépasse la consigne, il faut agir en négatif. u Définition préalable : Grandeur de mesure.

et s = c/2 donc  =c/2k non nul. Ce montage n'améliore donc pas les performances du système, il possède une erreur, et manque de précision Principe d'un asservissement - étude du gain statique - Système asservi = Système bouclé - Définition de l'erreur : Au lieu de commander le système par la commande u, on utilise la différence (appelée erreur  ) entre la consigne c' (= c ramenée à l'échelle de la commande) et la mesure m de la grandeur de sortie s pour piloter l’actionneur. - + facteur d'échelle 1/k c' c  s m actionneur capteur s k 1/k Ce montage est dit en boucle fermée. Si le problème sortie = consigne est résolu, l'erreur  vaut zéro. Or ici le gain statique vaut :

Principe d'un asservissement - étude du gain statique facteur d'échelle 1/k c' c  s m actionneur capteur s k 1/k Définition de la précision relative : pr =  /c’ Pour un système passe bas bouclé, la précision relative vaut pr = 0,5 (50%) alors que l'on souhaite atteindre pr = 0. On améliore les performances du système asservi, en plaçant, entre l'erreur  et la commande u, des dispositifs électroniques appelés correcteurs. Amélioration de la structure d’un asservissement : Dans un tel montage, il est nécessaire de bien faire la distinction entre les différentes configurations, selon que tout ou partie des connections sont réalisées.

la chaîne de retour de la figure 4. Figure 1 : boucle fermée Figure 2 : boucle ouverte Figure 3 : chaîne directe Figure 4 : chaîne de retour Ne pas confondre : le système asservi de la figure 1 en boucle fermée le système asservi de la figure 2 en boucle ouverte la chaîne directe de la figure facteur d'échelle 1/k c' c u  s m correcteurs actionneur capteur s K k 1/k consigne de commande erreur mesure commande sortie H(p)C(p) R(p) Désormais le montage bouclé de la figure 1 possède un gain statique de : c' u s m correcteurs actionneur capteur s K k 1/k u s correcteurs actionneur K k c' s m capteur s 1/k

- + facteur d'échelle 1/k c' c u  s m correcteurs actionneur capteur s K k 1/k consigne de commande erreur mesure commande sortie H(p)C(p) R(p) Principe d'un asservissement - étude du gain statique – L'erreur statique vaut : Elle tend vers 0 quand K tend vers l’infini. On constate donc qu'avec des montages correcteurs amplificateurs en BF, il sera possible de rendre l'erreur statique aussi petite que souhaitée. Le système sera dit précis, et le problème sortie = consigne est réglé en statique par un correcteur de gain infini en BF.

Problèmes posés lors du régime transitoire - étude dynamique - Régime permanent - Régime transitoire L'étude précédente est valable pour des grandeurs de consignes continues. Ou en régime permanent. Si Sortie = Consigne en régime permanent, il n'en est pas forcément de même tout au long d'une variation de consigne. L'évolution de la Sortie au cours de cette variation de consigne est appelée régime transitoire. Un bon asservissement devra donc résoudre le problème suivant : Formulation du problème pour le régime transitoire : Sortie = Consigne à tout instant, quelles que soient les variations de consigne. Variation de consigne type : Changement brusque entre deux valeurs de consigne. Entrée de test des transitoires choisie par les automaticiens : Echelon de Heavyside t u t = 0 0 f --->  f --->

Avertissement : Lorsqu'un ingénieur conçoit un asservissement, il ne sait pas à priori, si la condition D(p) = 0 se réalise. Ainsi, il risque, sans étude préalable, de casser le système! La condition D(p) = 0 impose : R(p) C(p) H(p) = -1 G(p) = R(p) C(p) H(p) est la fonction de transfert de la boucle ouverte. Elle est constituée de systèmes stables. Son étude est donc sans risque Outils d'étude en régime transitoire - Fonction de transfert de Laplace - + facteur d'échelle 1/k c' c u  s m correcteurs actionneur capteur s K k 1/k consigne de commande erreur mesure commande sortie H(p)C(p) R(p) La fonction de transfert T(p) du système asservi en boucle fermée est : Chaîne directe 1+Boucle Ouverte Problème de la stabilité en régime transitoire. L'éventuelle instabilité d'un asservissement vient de la possibilité d'annuler le dénominateur D(p) = 1 + R(p) C(p) H(p) de T(p) = 0 En effet, la sortie devient alors théoriquement infinie, et en pratique, il y a saturation (ou casse) du système (qui n'est alors plus linéaire).

. Remarques sur l'instabilité : * Pour la très grande majorité des fonctions de transfert, le passage par -180° est ponctuel et correspond à une seule valeur de fréquence. ** A cette fréquence, l'instabilité a lieu théoriquement pour un gain unitaire. Il apparait alors des oscillations à cette même fréquence quelle que soit l'entrée. Elles sont d'amplitude théoriquement infinie mais en pratique limitée par les phénomènes non linéaires de saturation Outils d'étude en régime transitoire - Fonction de transfert de Laplace La fonction de transfert en boucle ouverte peut être représentée graphiquement par les méthodes suivantes: - Plans de Bode - module (dB), et phase en fonction de la fréquence - - Plan de Black - module (dB) en X, phase en Y, pour différentes fréquences - -Plan de Nyquist- R(j  )C(j  )H(j  ) dans le plan complexe, pour différentes fréquences- La condition d’instabilité correspond, pour la fonction de transfert en boucle ouverte : - Dans le plan de Bode, à un passage par l'axe des 0 dB pour le module, et un passage par -180° pour la phase. - Dans le plan de Black, à un passage par le point central (0 dB, - 180°). - Dans le plan de Nyquist, à un passage par le point (-1,0). *** Si G BO >1 (f -180° ), le système reste instable. Ce cas correspond à un G BF fini. On pourrait s'attendre à une stabilisation. En fait la boucle ouverte est amplificatrice (G BO >1), a f -180° le bouclage (signe -) fait partir l'asservissement en saturation ( {G x -1 x -1} > 1 ). Il en résulte des oscillations (plus ou moins carrées selon le niveau de saturation) a f -180°. Le bruit présent à toutes les fréquences amorce les oscillations.

Plans de Bode - module (dB), et phase en fonction de la fréquence f(Hz) G(dB)  (°) 0° -90° -180° -270° -360°

- Plan de Black - module (dB) en X, phase en Y, pour différentes fréquences - Abaques de Nichols Elles représentent les valeurs de gain et de phase que prendront la boucle fermée pour différents points Fréquences à positionner Point critique

-Plan de Nyquist- R(j  )C(j  )H(j  ) dans le plan complexe, pour différentes fréquences- Re Im Fréquences à positionner Point critique

Outils d'étude en régime transitoire - Fonction de transfert de Laplace Définitions Marge de Gain : Elle est définie à la fréquence  -180 /2  pour laquelle le déphasage de la boucle ouverte vaut  =-180°. Elle vaut  G = - G(  -180 ) si le gain G est alors négatif. Elle vaut  G = 0 si le gain G est alors positif ou nul. Marge de Phase : Elle est définie à la fréquence ω 0dB /2π pour laquelle le gain de la boucle ouverte vaut G = 0 dB. Elle vaut Δ  = 180° +  si le déphasage  > -180°. Elle vaut Δ  = 0° si  < -180°. Une méthode pratique courante : Marge de Gain 15 dB, Marge de Phase 45°. L'expérience montre que la condition ci-dessus appliquée à la boucle ouverte conduit à une réponse relativement rapide, et sans dépassement intempestif de la boucle fermée. Marges de stabilité Marges de la BO pour une bonne Stabilité de la BF

Plans de Bode - module (dB), et phase en fonction de la fréquence f(Hz) G(dB)  (°) 0° -90° -180° -270° -360° MGMG  ici 7,5 dB ici 108°

- Plan de Black - module (dB) en X, phase en Y, pour différentes fréquences - Abaques de Nichols Elles représentent les valeurs de gain et de phase que prendront la boucle fermée pour différents points Point critique MGMG ici 13 dB  ici 90°

-Plan de Nyquist- R(j  )C(j  )H(j  ) dans le plan complexe, pour différentes fréquences- Re Im Point critique O C B M G =-20 Log(OB/OC) ici : 2 dB  ici 130° Critère du revers : Un système (à déphasage minimal) est stable en BF si et seulement si il laisse le point critique à sa gauche lorsqu’on décrit le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences croissantes. Il existe d’autres critères de stabilité comme le critère de Nyquist ou le critère algébrique de Routh Hurwitz. Ces critères seront à connaître des étudiants qui se spécialisent en automatique.

6 - Correcteur PID On a établi Pour rendre  nul, il faut nécessairement K infini, avec K, gain statique du correcteur. Il nous faut donc trouver un dispositif électronique possédant un gain infini à fréquence nulle. Considérons (cas fréquent) un système à asservir dont la réponse (système seul) est lente. On a vu que l'utilisation d'un comparateur engendre nécessairement un gain statique de 1/2 pour la boucle fermée (avant correction). Ceci correspond à une erreur de 50% par rapport à la valeur finale; c'est inacceptable. Il faut corriger l'erreur statique  Action intégrale I : annulation de l'erreur statique Fonction de transfert : Ce dispositif existe : l'intégrateur pur.

G f f  0° -90° 0dB 0Hz C s - + R e inverseur Action intégrale I 1/2  RC 1Hz -20 dB/décade Ao = 100 dB 1Hz S E = 1 RC p Intégration Défaut de l’AOP

Ce correcteur ajoute 90°, à la phase de la boucle ouverte, sur presque tout le spectre. Le passage de cette phase par -180° s'effectue à fréquence plus élevée. Fréquence à laquelle l'atténuation du système est plus importante, augmentant ainsi la marge de gain. L'action dérivée a donc comme effet de stabiliser l'asservissement Action dérivée D : Stabilisation - Rapidité Fonction de transfert : T d p Stabilisation Rapidité La marge de gain étant améliorée, on pourra augmenter le gain de la BO (tout en conservant une marge suffisante). Ceci (on le verra par la suite) rend la BF plus rapide. c,s t a d c t c s b sans correcteur avec correcteur 0Hz f  0° +90° HF G dB f 22 - + C R e s S E = RC p Défaut AOP Dérivation

Le gain du correcteur dérivé est très important aux hautes fréquences. Si on commande le système directement par la sortie du correcteur dérivé, il y a risque de saturation pour le système, ceci lors d'une brusque variation de la consigne (correspondant à des hautes fréquences). Pour cette raison, on préfère commander l'action dérivée, non pas par l'erreur, mais par la mesure (dont les brusques variations sont déjà filtrées par le système) Action dérivée D : Stabilisation - Rapidité Remarque : Saturation - + facteur d'échelle 1/k c' c u  s correcteur m actionneur capteur s dérivé + -

6 - 3 Action proportionnelle P : Obtention du compromis stabilité / rapidité Fonction de transfert : C(p) = G Instabilité/Stabilité : Condition d'instabilité d'un asservissement : R(p) C(p) H(p) = -1 Phase = -180°, est une condition nécessaire d'instabilité. L'instabilité apparaît alors pour un gain en boucle ouverte : G BO > 1. G translate le diagramme de Bode du gain de la boucle ouverte de la valeur de G exprimée en dB. On peut ainsi régler la marge de gain, et donc la stabilité du système. Rapidité : Donner trop de marge de gain n'est pas souhaitable. En effet, le système sera alors très stable, mais deviendra trop lent. Pour éviter que l'asservissement ne soit trop mou, il faudra donner un maximum de gain par action proportionnelle tout en évitant l'instabilité. Point critique MGMG 

Correcteur PID On rencontre deux correcteurs PID dans l'industrie, selon que la dérivée soit prise sur l'erreur ou sur la mesure. La fonction de transfert est : Aux basses fréquences : Aux moyennes fréquences : Aux hautes fréquences : d'où le diagramme asymptotique suivant  f f Gain(dB) 90° -90° Log(G) 1/2 Ti  1/2 Td  -20dB/dec +20dB/dec - + facteur d'échelle 1/k c' c u  s m correcteur actionneur capteur dérivé + correcteur intégral + correcteur proportionnel PID de type Somme facteur d'échelle 1/k c' c u  s m correcteur actionneur capteur s dérivé + correcteur intégral correcteur proportionnel + + PID de type Produit -

- Plan de Black - module (dB) en X, phase en Y, pour différentes fréquences - Abaques de Nichols Elles représentent les valeurs de gain et de phase que prendront la boucle fermée pour différents points Point critique Correcteur proportionnel Correcteur intégral Correcteur dérivé

Pour régler un correcteur PID, il existe des méthodes ( BROIDA, ZIEGLER NICHOLS etc...) plus ou moins empiriques, qui donnent les valeurs à prendre pour Td, Ti, et G P à partir des constantes de temps propres au système actionneur à asservir. Pour cela, il est nécessaire de connaître les paramètres du système. Cette étape d'analyse est très importante dans la conception des asservissements : On l'appelle IDENTIFICATION si les paramètres systèmes ne peuvent pas être tous atteints (on se contente alors d'une fonction de transfert approchée). On l'appelle MODELISATION s'il est possible de déterminer la fonction de transfert exacte du système Correcteur PID

Equations électromécaniques : La vitesse sera lue par une dynamo tachymètrique de gain k. 7- Application au Mcc asservis en vitesse 7 – 1 – Modélisation du moteur Equations électriques : E=k   T=kI Equation mécanique : Avec l’hypothèse d’un couple résistant nul on établit : Dans le cas où L est négligeable : La réponse du moteur est un premier ordre de constante de temps m=m= D’où une fonction de transfert de type 1er ordre de gain statique :  (p) U(p) 2 2

Cet asservissement agit dans le bon sens. Mais possède une erreur statique de 50%. k  c (p)  (p)  (p) m(p) U(p) k – 2 – Boucle d’asservissement seule Fonction de transfert en boucle fermée Car kk’=1

Cette fois l’erreur est d’autant plus faible que K p est grand. Et le système d’autant plus rapide que K p est grand. Cependant, l’erreur n’est pas nulle. k  c (p)  (p) m(p) U(p) k - + KpKp 7 – 3 – Action proportionnelle Avec un correcteur proportionnel de gain K p avant le moteur On obtient en boucle fermée : De plus le moteur étant plus complexe qu’un 1 er ordre (il y peut y avoir notamment oscillation de l’arbre moteur, le gain K p finira par rendre instable l’asservissement.

Cette fois l’erreur est nulle. Et le système d’autant plus rapide que K p est grand. Et que T i set petit. Cette correction est donc parfaite pour le moteur idéal. k  c (p)  (p)  (p) m(p) U(p) k - + KpKp + 7 – 3 – Correction de l’erreur par action proportionnelle intégrale (PI) Avec un correcteur proportionnel intégral de gain avant le moteur On obtient en boucle fermée :

Avec un correcteur proportionnel intégral dérivé de gain avant le moteur On obtient en boucle fermée : Une fonction de transfert du second ordre Plus stable et plus rapide que la simple correction PI k  c (p)  (p)  (p) m(p) U(p) k - + KpKp + TdpTdp 7 – 4 – Amélioration des performances pour un moteur réel – Correction proportionnelle intégrale dérivée (PID)

La correction est donc précise, mais de rapidité non réglable kk  c (p)  (p)  (p) m(p) U(p) kk Application au Mcc asservis en position 8 – 1 – Modélisation du moteur La position est l’intégrale de la vitesse donc : 8 – 2 – Boucle d’asservissement seule Le transfert en boucle fermée vaut :

+ Cette fois le système garde sa précision, mais devient de rapidité réglable. Un intégrateur est inutile. Sauf pour corriger de gros frottements statiques. kk  c (p)  (p)  (p) m(p) U(p) kk - + KpKp 8 – 3 – Correction proportionnelle dérivée (PD) Le gain du correcteur vaut : La boucle fermée donne lorsque T d =  m

L’analyse des systèmes à partir de la fonction de transfert est certes une technique puissante et suffisante pour l’analyse et la synthèse de certains systèmes.mais,elle présente certaines limitations. ee lle s’applique seulement dans le cas des systèmes linéaires invariants avec des conditions initiales nulles et dans le cas des systèmes mono-variables NN e donne pas d’informations sur l’état interne des systèmes (cas ou la sortie d’un système est stable alors les variables internes dépassent leurs valeurs estimées La représentation d’état ou représentation temporelle est une représentation mathématique plus générale.c’est une approche directe et une technique très puissante pour l’analyse des systèmes linéaires, non linéaires variants et invariants dans le temps, multi variables ou monovariables.elle joue un role en identification et d’une manière générale dans la théorie de l’estimation des paramètres des paramètres des modèles.il convient de ne pas conclure que l’approche de l’état peut remplacer complétement les méthodes fréquentielles dites classiques qui restent toujours un outil important dans l’analyse des systèmes linéaires invariant.