Chapitre 5. Modèles probabilistes continus Variable aléatoire continue et loi de probabilité continue Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale Loi normale centrée réduite C5-1

Variable aléatoire continue et loi de probabilité continue La représentation graphique d’une variable statistique continue se fait à l’aide d’un histogramme En augmentant le nombre d’observations et en réduisant l’amplitude des classes à la limite on obtient une courbe continue La représentation graphique d’une variable aléatoire continue porte alors le nom de densité de probabilité ou fonction de densité C5-2

Loi de probabilité continue f(x) x La loi de probabilité d’une variable aléatoire continue se nomme la fonction de densité 0  f(x)  1 C5-3

Fonction de densité f(X) Aire sous la courbe = 1 f(x) x La surface sous la courbe doit être égale à un C5-4

Calcul des probabilités a f(x) x b Le calcul des probabilités se fait en calculant l’aire sous la courbe entre deux valeurs de X C5-5

Fonction de répartition F(x) F(x) x 1 a F(a) b F(b) Le calcul des probabilités entre deux valeurs de X peut aussi se faire à l’aide de la fonction de répartition C5-6

Propriétés de la fonction de répartition 0 ≤ F(x) ≤ 1 F(x i ) ≤ F(x j ) si x i ≤ x j P(X > x) = 1 - P(X ≤ x) = 1 - F(x) C5-7

Relations utiles pour le calcul des probabilités C5-8

La loi uniforme Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme, sa fonction de densité est donnée par La fonction de répartition d’une loi uniforme est C5-9

La fonction de densité de la loi uniforme a b x f(x) La surface sous la courbe est égale à un C5-10

La fonction de répartition a b x F(x) 1 C5-11

L’espérance mathématique et la variance d’une loi uniforme C5-12

Exemple 1: la loi uniforme Le temps pour accomplir une activité d'un projet est distribué uniformément dans l'intervalle de 10 à 20 jours Soit f(x) la fonction de densité C5-13

Exemple 1: le graphique de la fonction de densité x f(x) C5-14

Exemple 1: calcul des probabilités Quelle est la probabilité que le temps pour accomplir une activité soit entre 12 et 15 jours? x f(x) Il faut calculer la surface sous la courbe entre 12 et 15 C5-15

Exemple 1: la fonction de répartition x F(x) 1 0,5 C5-16

Exemple 1: calcul des probabilités avec la fonction de répartition Quelle est la probabilité que le temps pour accomplir une activité soit entre 12 et 15 jours? x F(x) 1 0,5 0,2 C5-17

Exemple 1: l’espérance mathématique, la variance et l’écart type C5-18

La loi exponentielle La loi exponentielle permet de calculer la probabilité du temps écoulé entre deux événements successifs Elle s’utilise, en autre, en gestion des opérations pour modéliser le temps d’attente des clients, la durée de service, … Elle est aussi utiliser pour estimer la fiabilité des systèmes (fonctionnement sans défaillance d’un système), établir les normes de garantie pour les produits, … La loi exponentielle est sans mémoire C5-19

La fonction de densité de la loi exponentielle Si X est une variable aléatoire continue exponentielle, alors sa fonction de densité f(x) est: : nombre moyen de succès par unité de temps f(x) x C5-20

La moyenne, la variance et l’écart-type de la loi exponentielle Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi exponentielle, alors l’espérance mathématique de X, la variance et l’écart-type sont respectivement: C5-21

La fonction de répartition de la loi exponentielle La fonction de répartition, F(x) donne la probabilité que le temps qui s’écoulera avant le prochain événement soit inférieur à x: Noter que: C5-22

Exemple 2: la loi exponentielle La durée de vie d'un alternateur Z201 de la compagnie Celco suit une distribution exponentielle La durée de vie espérée des alternateurs Z201 est de 500 heures Soit X: la durée de vie de l’alternateur Z201 E(X) = 500 heures Déterminer la valeur du paramètre = 1 / 500 = 0,002 défaillance par heure C5-23

Exemple 2: la fonction de densité et la fonction de répartition Déterminer la fonction de densité et la fonction de répartition C5-24

Exemple 2: calcul des probabilités Déterminer la probabilité qu’un alternateur Z201 ait une durée de vie inférieure à 250 heures C5-25

Exemple 2: calcul des probabilités (suite) Déterminer la probabilité qu’un alternateur ait une durée de vie inférieure à la durée de vie espérée C5-26

Exemple 2: calcul des probabilités (suite) Sur 1000 alternateurs, combien auront vraisemblablement une durée de vie supérieure à 345 heures? Soit (1000)(0,5016) = 501,6 ou presque 502 alternateurs C5-27

La loi normale Plusieurs phénomènes aléatoires naturels suivent une loi normale (grandeur d’une personne, poids d’une personne, …) Les domaines d’application sont nombreux et la loi normale est très utilisée théorie de l'échantillonnage (théorème central limite, …) gestion de la qualité (méthode Six Sigma, …) … Elle a des propriétés mathématiques intéressantes distribution symétrique moyenne = médiane = mode entièrement définie par deux paramètres C5-28

La fonction de densité de la loi normale Une variable aléatoire, X, continue suit une loi normale si sa fonction de densité est  : espérance mathématique  : écart-type C5-29

La moyenne, la variance et l’écart type de la loi normale Espérance mathématique E(X) =  -     Variance Var(X) =     > 0 Écart type C5-30

Propriétés de la loi normale f(x)f(x) x 0  La surface sous la courbe est égale à 1 Aire sous la courbe = 1 C5-31

Propriétés de la loi normale (suite) f(x)f(x) x 0 MeMoMeMo P(X   )=0,5 La distribution normale est symétrique et  = M e = M o C5-32

Propriétés de la loi normale (suite) f(x)f(x) x 0  N(   ) La loi normale est entièrement définie par deux paramètres  et  2  C5-33

Propriétés de la loi normale (suite)  --++  +2   -2   -3  +3  99,73% 95,45% 68,27% 95,45% des observations d’une loi normale se situent dans l’intervalle [  -2 ,  +2  ] 68,27% des observations d’une loi normale se situent dans l’intervalle [  -1 ,  +1  ] 99,73% des observations d’une loi normale se situent dans l’intervalle [  -3 ,  +3  ] C5-34

Forme de la loi normale selon  Si  ne change pas, la courbe s’aplatit lorsque  augmente f(x) x 0   = 0,5  = 1  = 2 C5-35

Forme de la loi normale selon  Si  ne change pas, la courbe se déplace sans changement de forme vers la gauche ou la droite selon que  diminue ou augmente f(x) x0 22 33 11 C5-36

Calcul des probabilités avec la loi normale centrée réduite Bien que  et  puissent avoir une infinité de valeurs possibles, le calcul des probabilités d’une loi normale peut se faire à l’aide d’une seule table Il n’est donc pas nécessaire d’employer la formule de la fonction de densité L’utilisation d’une seule table est possible grâce à la variable centrée réduite Z C5-37

Propriétés de la variable centrée réduite Z E(Z) = 0 Var(Z) = 1 Si X suit une distribution normale alors Z suit aussi une distribution normale Il existe une table de probabilité normale pour Z (voir par exemple la Table A3, Baillargeon, page 913) C5-38

Table A3, Baillargeon, page 913 C5-39

Loi normale centrée réduite Facilite le calcul des probabilités Permet l’utilisation d’une seule table Une simple transformation est nécessaire X  N( ,  2 ) Z  N(0, 1) C5-40

Loi normale centrée réduite (suite) E(X) =  Var(X) =  2 x  N(   ) x1x1 z  N(0,1) z1z1 E(Z) = 0 Var(Z) = 1 C5-41

Table de la loi normale centrée réduite La table de la loi normale centrée réduite (Table A3, Baillargeon, page 913) donne la probabilité pour les valeurs positives de Z uniquement P(0  Z  z 1 ) Z 0 z1z1 C5-42

Table de la loi normale centrée réduite Pour les valeurs négatives de Z puisque la fonction de densité est symétrique on peut utiliser la relation suivante La courbe est symétrique par rapport à zéro Z 0 z1z1 0 -z 1 Z C5-43

Exemple 3: probabilité de la loi normale Trouver De la table A3, Z 0 1 C5-44

Exemple 4: probabilité de la loi normale Trouver Z C5-45

Exemple 5: probabilité de la loi normale Trouver Z -1,86 0 0,72 C5-46

Exemple 6: probabilité de la loi normale Trouver Z 0,93 2,02 Z 0 2,02 Z 0 0,93 C5-47

Exemple 6: probabilité de la loi normale (suite) C5-48

Exemple 7: déterminer z pour une probabilité donnée Déterminer z tel que P(Z > z) = 0,025 Ceci est équivalent à chercher z tel que Z aire sous la courbe = 0,025 Z z 0 de la table, z = 1,96 aire sous la courbe = 0,5 – 0,025 = 0,475 Z z 0 C5-49

Exemple 8: la loi normale La note finale par un groupe d’étudiants en statistique suit une loi normale de moyenne  = 72 et écart-type  = 10 Déterminer la probabilité qu’un étudiant obtienne une note supérieure à 85 Soit X la note obtenue en statistique par un étudiant du groupe, X  N(72, 10 2 ) On veut P(X  85) C5-50

Exemple 8: calcul de probabilité normale f(x) X f(z) Z 0 1,3 N(72,10 2 ) N(0,1) C5-51

Exemple 9: calcul de Z 20% des étudiants les plus faibles ont une note inférieure à quelle valeur On veut Dans la table, on trouve z= -0,84 f(x) Z X 72 f(z) 0 x -z 0,20 C5-52

Exemple 9: calcul de Z (suite) f(x) Z X 72 f(z) 0 x -0,84 0,20 C5-53

Exemple 10: calcul de Z Sur 80 étudiants, combien auront une note entre 62 et 82? On aura donc 80  0,6826 = 55 étudiants X C5-54

Exemple 11: calcul de Z Combien d’étudiants de la classe échoueront, si la note de passage est de 50? On aura donc 80  0,0139 =1 étudiant = 0,5 – 0,4861 = 0,0139 f(x) X C5-55

Exemple 12: la loi normale Les ventes journalières, X, en unités du produit Axcédull suivent une loi normale dont l’espérance mathématique est 120 et l’écart-type 10 Combien d’unités du produit Axcédull doit-on stocker chaque jour si on veut satisfaire la demande avec une probabilité de 90% (90 jours sur 100 sans pénurie)? Soit X: le nombre d’unités vendues au cours d’une journée On cherche x (le nombre d’unités stockées) tel que P(X  x)=0,90 C5-56

Exemple 12: calcul de Z Ceci est équivalent à chercher Dans la table, on trouve z =1,28 f(x) X x z 0,90 f(z) Z 0,40 C5-57

Exemple 12: calcul de Z (suite) f(x) X x 1,28 0,90 f(z) Z 0,40 C5-58

Exemple 13: calcul des probabilités normales Déterminer la probabilité que les ventes journalières du produit Axcédull soient supérieures à 120 f(x) X 120 C5-59

Exemple 14: calcul des probabilités normales Si chaque jour, on débute avec un inventaire de 140 unités, quelle est la probabilité d’avoir une pénurie? Z 0 z f(z) f(x) X C5-60

Exemple 15: calcul des probabilités normales Soit X  N(73,2, 8 2 ) Calculer P(X  80) Il faut transformer X en variable centrée réduite et trouver la probabilité correspondante 73, X 0,85 Z C5-61

Exemple 16: calcul des probabilités normales avec Excel Soit X  N(73,2, 8 2 ) Calculer P(X  80) = 1 - P(X  80) = 1 – LOI.NORMALE(x;  VRAI) = 1 - LOI.NORMALE(80;73,2;8;VRAI) = 1 – 0,8023 = 0,1977 Calculer P(X  80) = P(Z  0,85) = 1 - P(Z  0,85) = 1 - LOI.NORMALE.STANDARD(z) = 1 - LOI.NORMALE.STANDARD(0,85) = 1 – 0,8023 = 0,1977 Probabilité cumulée C5-62

Exemple 16: calcul des probabilités normales avec Excel - anglais Soit X  N(73,2, 8 2 ) Calculer P(X  80) = 1 - P(X  80) = 1 - NORMDIST(x, , ,TRUE) = 1 - NORMDIST(80,73.2,8,TRUE) = 1 – 0,8023 = 0,1977 Calculer P(X  80) = P(Z  0,85) = 1 - P(Z  0,85) = 1 - NORMSDIST(z) = 1 - NORMSDIST(0.85) = 1 – 0,8023 = 0,1977 C5-63

Exemple 17: calcul des probabilités normales Calculer P(65 ≤ X ≤ 85) 73, X 1,475 Z 65 -1,025 C5-64

Exemple 18: calcul des probabilités normales avec Excel Calculer P(65 ≤ X ≤ 85) P(65 ≤ X ≤ 85) = F(85)-F(65) P(65 ≤ X ≤ 85) = LOI.NORMALE(85;73,2;8;VRAI)- LOI.NORMALE(65;73,2;8;VRAI) P(65 ≤ X ≤ 85) = 0,9299 – 0,1527 = 0,7772 F(85) F(65) 73, X 1,475 Z 65 -1,025 C5-65

Exemple 19: calcul de Z Soit P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,50 quelle est la valeur de z? Il faut déterminer z tel que P(0 ≤ Z ≤ z) = 0,25 De la table, z = 0,675 et P(0 ≤ Z ≤ 0,675) = 0,25 Donc z = 0,675 et -z = -0,675 0z-z 0,25 C5-66

Exemple 20: calcul de Z avec Excel Soit P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,50 quelle est la valeur de z? On définit P(-z ≤ Z ≤ z) = 1-  Donc  = 1- 0,50 = 0,50 On utilise P(Z ≤ z) = 1-  /2 = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(1-  /2) = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,75) = 0,6745 et P(Z ≤ -z) =  /2 = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(  /2) = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,25) = -0,6745 C5-67

Exemple 20: calcul de Z avec Excel – anglais Soit P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,50 quelle est la valeur de z? On définit P(-z ≤ Z ≤ z) = 1-  Donc  = 1- 0,50 = 0,50 On utilise P(Z ≤ z) = 1-  /2 = NORMSINV(1-  /2) = NORMSINV(0.75) = 0,6745 et P(Z ≤ -z) =  /2 = NORMSINV(  /2) = NORMSINV(0,25) = -0,6745 C5-68

Exemple 21: détermination d’un intervalle Soit X  N(73,2, 8 2 ) Déterminer un intervalle symétrique au centre de la distribution qui contient 50% des observations On obtient [67,8, 78,6] 00,675 ( ,675×8)= 78,6 0,25 -0,675 ( ,675×8)= 67,8 0,25 De la table, pour P(0  Z  z) = 0,25 on obtient z = 0,675 C5-69

Exemple 22: détermination d’un intervalle avec Excel Soit X  N(73,2, 8 2 ) Déterminer un intervalle symétrique au centre de la distribution qui contient 50% des observations P( x 1  X  x 2 ) = 0,50 On définit P( x 1  X  x 2 ) = 1-  Donc  = 1- 0,50 = 0,50 On doit utiliser P(X  x 2 ) = 1-  /2 = LOI.NORMALE.INVERSE(1-  /2;  ;  ) = LOI.NORMALE.INVERSE(0,75;73.2;8) = 78,60 On doit utiliser P(X  x 1 ) =  /2 = LOI.NORMALE.INVERSE(  /2;  ;  ) = LOI.NORMALE.INVERSE(0,25;73,2;8) = 67,80 C5-70

Combinaison linéaire de variables distribuées selon la loi normale Soit deux variables aléatoires indépendantes, X 1 et X 2, provenant de distribution normale X 1  N(  1,  1 2 ) et X 2  N(  2,  2 2 ) Soit Y = X 1 + X 2 La somme Y de ces deux variables normales donne une variable aléatoire aussi distribuée normalement Y  N(  1 +  2,   2 2 ) Plus généralement, soit Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n C5-71

Combinaison linéaire de variables distribuées selon la loi normale (suite) Soit deux variables aléatoires indépendantes, X 1 et X 2, provenant de distribution normale X 1  N(  1,  1 2 ) et X 2  N(  2,  2 2 ) Soit Y = X 1 - X 2 La différence Y de ces deux variables normales donne une variable aléatoire aussi distribuée normalement Y  N(  1 -  2,   2 2 ) Plus généralement, soit Y = c 1 X 1 - c 2 X 2 - … - c n X n C5-72

Exemple 23: combinaison linéaire de variables aléatoires normales Les ventes journalières, X, en unités du produit Axcédull suivent une loi normale dont l’espérance mathématique est 120 et l’écart- type 10 Les ventes journalières du produit Axcédull sont indépendantes d’une journée à l’autre L’entreprise fait 20$ de profit par unité vendue, déterminer les profits espérés pour une journée X: le nombre d’unités vendues au cours d’une journée Y: les profits espérés pour une journée Y = 20X C5-73

Exemple 23: calcul des probabilités E(Y) = E(20X) = 20 E(X) = 20×120 = 2400$ Var(Y) = Var(20X) = 20 2 Var(X) = 400×10 2 =   (Y) = 200$ Y  N(2400, ) C5-74

Exemple 24: calcul des probabilités Déterminer la probabilité que les profits pour une journée soient plus de 3000$ P(Y >3000) f(x) Y Z 0 z f(z) C5-75

Exemple 25: combinaison linéaire de variables aléatoires normales Déterminer le nombre espéré d’unités vendues et la variance pour une semaine de vente de 6 jours Soit T = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 E(T) = E[X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ] = E[X 1 ] +E[X 2 ] +E[X 3 ] +E[X 4 ] +E[X 5 ] +E[X 6 ]= 6 E[X] = 6  120 = 720 unités Var(T) = Var[X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ] = Var[X 1 ] +Var[X 2 ] +Var [X 3 ]+... +Var[X 6 ] = 6 Var[X] = 6  10 2 = 600 C5-76

Exemple 26: calcul des probabilités Déterminer les profits espérés et la variance pour une semaine de vente de 6 jours Soit W: les profits espérés pour une semaine W = 20T E(W) = E(20T) = 20E(T) = 20  720 = 14,400$ Var(W) = Var(20T) = 20 2 Var(T) = 20 2  600 = 240,000 Noter que W  N(14400, ) C5-77