DUT INFORMATIQUE ET GÉNIE INFORMATIQUE UE2 CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES COMPLÉMENTAIRES EGO 4 ORGANISATION et GESTION LA CAPITALISATION ET L’ACTUALISATION

I) Le principe des intérêts composés A) La valeur acquise (C n ) Un capital de € est placé à intérêts composés pendant 8 ans au taux annuel de 6,25 %. Les intérêts sont capitalisés annuellement. Quelle est la valeur acquise au bout de la huitième année ? Rappel des sigles utilisés : Co = Capital initial placé ou emprunté n = Durée du placement ou de l’emprunt (en année, trimestre ou mois) i = Taux d’intérêt pour 1 Euro par période de capitalisation Cn = Valeur acquise au bout de n périodes de placement ou d’emprunt. Principe général : Valeur acquise au bout d’un 1 an = C 1 = C 0 x (1+i) Valeur acquise au bout de 2 ans = C 2 = C 1 x (1+i) = C 0 x (1+i) x ((1+i) Il s’agit d’une suite géométrique de raison (1+i)

Calcul de la valeur acquise : Cn = Co (1 + i) n Co = , i = 0,0625 et n = 8 C 8 = x (1,0625) 8 = ,37 € Un capital de € est placé à intérêts composés pendant 4 ans au taux mensuel de 0,5 %. Les intérêts sont capitalisés mensuellement. Cn = Co (1 + i) n Co = , i = 0,005 et n = 4 x 12 = 48 C 48 = x (1,005) 48 = ,67

Un capital de € est placé à intérêts composés pendant 3 ans et 7 mois au taux annuel de 7,4 %. Quelle est sa valeur acquise ? Il faut calculer la durée n en années : 3 ans et 7 mois correspondent à n = 3 + 7/12 = 43/12. La valeur acquise au bout de 3 ans 7 mois de placement est donc : C 43/12 = x (1,074) 43/12 = ,33

B) Le calcul des intérêts acquis (I n ) Quel est le montant des intérêts acquis (I n ) par le placement de € vu ci dessus ? I n est la différence entre Cn (valeur acquise) et Co (capital initial). I 8 = ,36 – = ,36 €

Application 1 Vous déposez le 1 er janvier € sur un livret rémunéré à 4,5 % l’an. TAF : De combien disposez-vous 4 ans plus tard compte tenu d’une capitalisation mensuelle des intérêts ? Application 2 Soient les placements suivants : € placés pendant 5 ans à 8 % l’an avec capitalisation annuelle ; € placés pendant 4 ans à 6 % l’an avec capitalisation trimestrielle ; € placés pendant 8 ans et 6 mois à 5 % l’an avec capitalisation mensuelle ; € placés pendant 3 ans et 8 mois à 9 % l’an avec capitalisation annuelle. TAF : Calculez la valeur acquise et le montant total des intérêts pour chacun des placements ci-dessus.

II) Les placements à intérêts composés A) Les taux équivalents Deux taux sont équivalents s’ils donnent la même valeur acquise à partir du même capital initial et au bout de la même durée de placement à intérêts composés. Les taux équivalents les plus utilisés sont présentés dans le tableau suivant : PériodeSemestreTrimestreMois Taux équivalenti2i2 i4i4 i 12 Calcul du taux équivalent sur une période à partir du taux annuel (1+ i 2 ) = (1+i) 1/2 (1+ i 4 ) = (1+i) 1/4 (1+ i 12 ) = (1+i) 1/12 Calcul du taux annuel à partir du taux sur une période (1+ i) = (1+i 2 ) 2 (1+ i) = (1+ i 4 ) 4 (1+i) = (1+ i 12 ) 12

Calcul : Taux équivalents au taux annuel de 8 % Taux semestriel : (1+ i 2 ) = (1,08) 1/2 = 1,03923 d’où i 2 = 3,923 %. Taux trimestriel : (1+ i 4 ) = (1,08) 1/4 = 1,01943 d’où i 4 = 1,943 % Taux mensuel : (1+ i 12 ) = (1,08) 1/12 = 1,00643 d’où i 12 = 0,643 % Application 3 Les sommes suivantes sont placées à 6 % avec capitalisation des intérêts chaque quinzaine (1/2 mois) : € le 15 mars ; € le 30 avril et € le 15 mai. TAF : Quelle est la valeur acquise au 31 décembre ?, Quel est le montant des intérêts acquis au 31 décembre ?

B) Calcul de valeur actuelle A partir de la relation Cn = Co (1+ i) n, on peut déduire que Co = Cn (1+i) -n Calculer le capital à placer aujourd’hui au taux annuel de 6 % pour obtenir dans 4 ans une valeur acquise de €. Avec n = 4, C 4 = et i = 0,06. Soit C 0 = x (1,06) -4 = ,62 €

Application 4 Quel est le capital qui, placé à 6 % l’an avec capitalisation mensuelle des intérêts pendant 5 ans, permettrait d’obtenir une valeur de € au terme du placement ? Application 5 Quelle somme faut-il placer à 3,5 % l’an avec capitalisation annuelle des intérêts pour obtenir une valeur acquise de , 99 € après 14 ans de placement ?

III) L’équivalence de capitaux Deux capitaux sont dits équivalents à une date donnée (date d’équivalence) si à un même taux d’actualisation ils ont la même valeur actuelle. A l’aide des relations de base Cn = Co (1+ i) n et Co = Cn (1+i) -n, il est possible d’évaluer un capital à une date quelconque. Cette propriété permet de modifier l’échéance d’un règlement ou d’évaluer à la même date des capitaux d’échéances différentes avant de les additionner ou de les comparer.

Un débiteur doit s’acquitter d’une dette de € dans 4 ans. Quelle somme devra-t-il payer s’il préfère régler sa dette dans 2 ans ? dans 5 ans ? Le créancier et le débiteur ont convenu d’un taux annuel de 7,25 %. Calcul du règlement dans 2 ans : C 2 = C 4 (1+i) -2 = (1,0725) -2 = ,81. Calcul du règlement dans 5 ans : C 5 = C 4 (1+i) 1 = (1,0725) = Conclusion : à intérêts composés, au taux annuel de 7,25 %, il revient au même de payer € dans 4 ans ou € dans 2 ans ou € dans 5 ans.

Application 6 un capital de € sera disponible dans 6 mois ; un placement doit rapporter € dans trois ans ; l’ensemble doit être utilisé dans 1 an pour un projet important. TAF : Quel serait alors le montant du capital équivalent compte tenu d’un taux d’actualisation de 9 % l’an ?

Un débiteur propose à son créancier de lui rembourser € aujourd’hui ou € dans deux ans. Sachant que le créancier peut placer ses fonds à intérêts composés au taux annuel de 5,5 %, quelle solution doit-il choisir ? Avec le premier mode de versement il percevra dans 2 ans la valeur acquise par son placement de € au taux de 5,5 %, soit x (1,055)² = ,25 € Avec le second mode il percevra €, il est préférable pour lui de choisir le règlement immédiat.