Approche Financière Traditionnelle Approche Econométrique Les techniques de simulations des processus d’évolution et leurs applications Approche Financière Traditionnelle Approche Econométrique web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Généralités sur les simulations Les problèmes se complexifient au point que seules les simulations permettent d’évaluer les valeurs des portefeuilles ou les produits financiers de nouvelle génération. et parce que l’on sait simuler on complexifie les problèmes... web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Approche traditionnelle web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

le tout brownien : les bases La théorie financière s’est largement inspirée du mouvement brownien. Les actions, les indices et les taux de change sont souvent modélisées par le mouvement brownien géométrique : Généralement, les taux intègrent une force de rappel : web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Simulation de la trajectoire d’une action où ti sont les dates auxquelles on effectue les simulations ti = (ti+1-ti) W(ti) la valeur du brownien à la date ti. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr or [W(ti+1)- W(ti)] est normalement distribué donc le problème se réduit à simuler où et i ~ N(0,1) web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Simulation d’une loi normale : méthode de Box & Muller Soient x1 et x2 ~ U(0,1). Le changement de variable suivant : admet pour Jacobien |J| : Le Jacobien est donc un produit de densités de lois normales. En inversant les équations précédantes, Box et Muller obtiennent deux variables aléatoires y1 et y2 normalement distribuées de corrélation nulle : web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Simulation de la trajectoire des taux d’intérêt Cette fois-ci on n’intègre pas le processus. On simule le processus discrétisé problème : taux négatif possible ! pas de temps plus fin et gestion du problème en 0 (utilisation de ponts browniens ou autres techniques) web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

simulation de taux, mise en œuvre avec i ~ N(0,1) sous la contrainte ri > 0 Rappel : la convergence vers le processus en temps continu est obtenu avec ti petit. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr extension du problème En pratique le temps de calcul est primordial (marché en temps réel) mais le gestionnaire souhaite évaluer du mieux possible le risque et sa couverture. En raison du temps de calcul parfois très importants les hypothèses des modèles d’évolution des actifs financiers peuvent être réduits aux cas exposés précédemment. Mais le GBM n’est pas vraiment adapté à la représentation du processus des actifs financiers car la volatilité et les taux mesurés sur les marchés ne sont pas déterministes. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

problème actuel : la simulation de vecteurs browniens Le problème revient donc à savoir simuler N Actifs financiers simultanément : Soit par exemple 10 actions selon le GBM ou encore une action, les taux et la volatilité de l’action Ce qui se ramène à la simulation de vecteurs de browniens corrélés web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

simulation d’un vecteur brownien = simulation d’un vecteur multinormal Rappel : la simulation d’un vecteur multinormal se fait à l’aide de la décomposition de Cholesky de la matrice des variances-covariances. Etape 1 : simulation d’un vecteur de gaussiennes indépendantes Etapes 2 : transformée linéaire par la matrice de Cholesky web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr Nombre de périodes La discrétisation du processus commence par la décomposition du temps La discrétisation doit être plus ou moins fine selon le problème. Il est souvent important de prendre en compte la distribution de dividendes (ou coupon) au moment exact où elle a lieu. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

exemple : les options à barrière La proba de franchir la barrière est sous estimée. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr piège à éviter Inutile de trop complexifier le processus car : L’estimation des paramètres devient quasi impossible Le modèle devient incompréhensible pour le gérant Les temps de calcul sont trop longs Les hypothèses sont de toute façon trop restrictives (pas de fourchette offre/demande, pas de coûts de transaction, situation d’incomplétude...) Un équilibre entre compréhension, complexité et temps de calcul doit être trouvé. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Approche économétrique web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

Evolution d’un Actif Financier = Série Temporelle Utilisation de processus autorégressifs de type GARCH web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

rendement d’une action web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr processus GARCH Mandelbrot (1963) : "large changes tend to be followed by large changes – of either sign – and small changes tend to be followed by small changes". Plusieurs raisons expliquent ce phénomène telles que les crises financières et économiques, les périodes d'instabilité des taux d'intérêt et d'inflation mais aussi la fréquence et le volume des transactions opérées sur le marché. Le processus GARCH, bien qu’imparfait, répond à de nombreuses attentes. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

variance non constante ??? web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr Définition Les modèles GARCH(p,q) s'écrivent : xt = m + t Avec E(t | It-1) = 0 et Var(xt | It-1) = ht = c + où m est une constante qui représente la tendance, c un réel représentant le seuil minimum de la variance, les coefficients . représentent la transmission des chocs précédents dans la variance et . représentent le caractère persistent de la volatilité décrit par Mandelbrot. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

modélisation et mise en oeuvre Le processus simulé est celui du rendement du cours de l’action et non pas de l’action directement. Supposons que l'on désire évaluer le prix d'un call asiatique sous l'hypothèse d'un rendement du type GARCH(1,1). Après avoir estimé les paramètres du processus GARCH(1,1), il est possible à l'aide de la méthode des simulations de Monte Carlo de générer plusieurs trajectoires du rendement et donc des prix de l'action. Dans l'univers risque-neutre, tout actif risqué doit rapporter le taux sans risque. Le rendement logarithmique des prix d'une action est égal au taux sans risque r multiplié par la longueur de la période t : r  t. Le rendement moyen m du processus GARCH doit par conséquent être remplacé par la rémunération du taux sans risque au cours de la période : r  t. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr Les premières valeurs 0 et h0 servant à initialiser le processus sont les dernières calculées dans l'estimation du processus GARCH. Il suffit ensuite de procéder à des simulations des bruits blancs. Cas de la CGIP : Rt = 0.016837 % +t Avec E(t | It-1) = 0 et Var(Rt | It-1) = ht = 0.000025414 + 0.077561 + 0.853145 ht-1 avec notamment 0 et h0 pris égaux respectivement à : 0.00636404 et 0.000380528. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

GARCH = problème de stabilité Les processus GARCH sont très utilisés comme prédicteur de la volatilité des actifs et assez peu pour le pricing (dans le cadre des méthodes de simulations) en raison de leur très forte instabilité. Lorsqu’il faut simuler plusieurs actifs, la prise en compte des corrélations devient problématiques car la corrélation elle-même est implicitement un processus GARCH. Malgré leur grand intérêt les processus de type ARCH ne répondent pas toutes les attentes. A l’heure actuelle, les économétriciens essaient de modéliser l’influence des volumes. web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr

conclusion : domaines d’applications des simulations en finance Evaluation de produits dérivés exotiques/hybrides Value At Risk Prédiction de volatilités Prévision d’indices économiques Simulations de taux (portefeuilles obligataires, duration, convexité,... Simulations de taux de change Catastrophes naturelles / Dérivés climatiques Calculs d’intervalle de confiance (bootstrap) ... web : http://michael.moreno.free.fr/ email : michael.moreno@free.fr