Les système linéaires Stéphane Paris

Définitions Un système est une unité qui converti une entrée f(x) en une sortie (réponse) g(x) x est une variable indépendante de l'information Le temps La position dans une image… Pour des raisons théoriques on suppose que x est continue Mais les résultats qui en découlent sont applicables aux variables discrètes

Définitions La sortie est définie par H est l'opérateur L'entrée f(x), les propriétés du système et les conditions initiales H est l'opérateur Il apparie un ensemble de sorties {gj(x)} à un ensemble d'entrées {fi(x)}

Définitions Un opérateur H est linéaire si

Définitions Un système linéaire est décrit par un opérateur linéaire H Un système linéaire est additif Appliquer l'opérateur à une somme d'entrée est équivalent à appliquer l'opérateur sur chaque entrée puis à faire la somme des réponses. Un système linéaire est homogène La réponse de l'opérateur à une entrée multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par la réponse de l'entrée

Définitions Un opérateur H est dit invariant En temps (si x est le temps) En position (si x est la position) Ou généralement à paramètre fixe Si Le système est alors dit à paramètre fixe Le décalage de x0 est identique en entrée et en sorite Les relations entre les entrées et les sorties sont inchangées par l'offset.

Définitions Un opérateur H est causal si Le système décrit par H est un système causal Un système linaire est dit stable si

Exemple 1 Le système est-il Linéaire? À paramètre fixe? Causal? Stable ?

Exemple 2 Le système est-il Linéaire? À paramètre fixe? Causal? Stable ?

Convolution Une fonction peut être représentée par une fonction de Dirac ou fonction d'impulsion unitaire Ainsi les systèmes sont également décrits par cette fonction de Dirac x 1 

Convolution Cas linéaire

Convolution Cas non linéaire

Convolution Le terme h(x,)=H[(x- )] est appelé la réponse impulsionnelle de l'opérateur Il définie la réponse de l'opérateur H pour la fonction de Dirac en x= 

Convolution L'écriture est fondamentale Autrement dit Si la réponse impulsionnelle est connue H et h(x, ) sont connues Alors la réponse à n'importe quelle fonction f(x) peut être calculée à l'aide de la réponse impulsionnelle Autrement dit La réponse d'un système linéaire n'est caractérisée que par sa réponse impulsionnelle

Convolution Si H un opérateur à paramètre fixe, Et donc Cette écriture est appelée l'intégrale de convolution La réponse d'un système linéaire à paramètre fixe est complètement caractérisée par la convolution de l'entrée f(x) par la réponse impulsionnelle du système h(x- )

Convolution Que l'on note

Convolution Dans le domaine fréquentiel On remarque

Convolution On obtient alors Dans le domaine fréquentiel la convolution est une simple multiplication C'est algorithmiquement très intéressant De plus nous verrons plus tard que les résultats sont robustes!!

Théorème de convolution

Utilisation