Chapitre 5 Volumes de solides de révolution Objectifs Être capable d’utiliser l’intégrale définie afin de calculer Un volume de solides de révolution : Méthode des disques Méthode des beignes ou anneaux Méthode des tubes
3.1 Volume d’un solide de révolution Définition d’un solide de révolution Solide engendré par la rotation d’une région plane autour d’un axe de révolution. Volume à visualiser Méthode Observation représentation de la région, de l’axe de révolution et d’un rectangle type. Ce rectangle type engendrera un disque, un tube ou un anneau (beigne) selon sa disposition par rapport à l’axe de révolution. Le volume de chaque disque, tube ou anneau type donne une approximation du volume d’une portion du solide de révolution. Mathématisation Calcul d’un volume élémentaire ΔVi . Calcul de l’élément différentiel dV. Calculs Recherche des bornes d’intégration Calcul du volume en utilisant le théorème fondamental du calcul.
3.2 Méthode des disques Introduction Méthode dans le cas L’axe de révolution est une frontière de la région plane. La longueur du rectangle type est perpendiculaire à l’axe de révolution et elle correspond au rayon du disque Méthode dans le cas Observation ri =distance entre la courbe et l’axe de rotation ΔE= épaisseur = (Δx ou Δy) Mathématisation Comme ΔVi = π ·ri2 · ΔE alors dV= π ·r2 ·dE Calculs: x f a b f(ci) ci ΔE ΔE r x a b ri
Soit la rotation autour de l’axe des x de la surface bornée par: Exemple Soit la rotation autour de l’axe des x de la surface bornée par: x f 1 3 f(ci) ci Δx r
Méthode des tubes Les rectangles sont parallèles à l’axe de rotation La révolution du rectangle autour de l’axe de rotation génère alors un tube R E h h R E
Volume du solide h R E où R: rayon du tube (distance entre le rectangle et l’axe de rotation) h: hauteur du tube (hauteur du rectangle) dE: élément différentiel d’épaisseur du tube (dx ou dy)
Soit la rotation autour de l’axe des y de la surface bornée par: Exemple Soit la rotation autour de l’axe des y de la surface bornée par: dE R H