Chapitre 8

Définition. Un lieu géométrique est un ensemble de points qui vérifient une propriété géométrique déterminée.

Le cercle Lieu géométrique des points à une distance donnée d’un point donné. Le lieu géométrique des points du plan dont la distance au point P est 2 cm est le cercle c de centre P et de rayon 2 cm.

La médiatrice Lieu géométrique des points à égale distance de deux points donnés ou à égale distance des extrémités d’un segment donné

Élipse Lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points donnés est constante Le lieu géométrique des points du plan dont la somme des distances aux points A et B est 4 cm est l’ellipse e:

Bissectrice Lieu géométrique des points à égale distance des côtés d’un angle

Les Coniques Le cercle L’ellipse L’hyperbole La parabole

Relations entre les distances a, b et c c 2 = a 2 + b 2 a 2 = b 2 + c 2 b 2 = a 2 + c 2 a: distance entre le centre et le sommet A et A` b: distance entre le centre et les sommets B et B` c: distance entre le centre et les foyers f et f` c a b b c a b c a a b c

Relations métriques |d(P,F) – d(P,F`) | = 2a |d(P,F) – d(P,F`) | = 2b d(P,F) + d(P,F`) = 2a d(P,F) + d(P,F`) = 2b d(P,F) = d(P,d) d(P,C) = r

Équations canoniques centrées à l’origine et translatées Cercle: x 2 + y 2 = r 2 (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2 Ellipse horizontale et verticale: x 2 + y 2 = 1 (x-h) 2 +(y-k) 2 = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 Hyperbole Horizontale: x 2 - y 2 = 1 (x-h) 2 - (y-k) 2 = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 Hyperbole Verticale : x 2 - y 2 = -1(x-h) 2 - (y-k) 2 = -1 a 2 b 2 a 2 b 2

Équations canoniques centrées à l’origine et translatées (suite) Parabole ouverte vers le haut (1 er cas) : x 2 = 4cy (x-h) 2 = 4c(y-k) y = 1_x 2 (y-k) = 1_(x-h) 2 4c 4c Parabole ouverte vers le bas (2 e cas) : x 2 = -4cy (x-h) 2 = -4c(y-k) y = -1_x 2 (y-k) = -1_(x-h) 2 4c 4c Parabole ouverte vers la droite (3 e cas): y 2 = 4cx (y-k) 2 = 4c(x-h) Parabole ouverte vers la gauche (4 e cas) : y 2 = -4cx (y-k) 2 = -4c(x-h) Pour un x il y a deux y x y1y1 y2y2 Pour un y il y a deux x yx1x1 x2x2

Équations générales Cercle: 1x 2 + 1y 2 – 2hx – 2ky + k 2 + h 2 – r 2 = 0 Ellipse ver. et hor. : b 2 x 2 + a 2 y 2 – 2hb 2 x – 2ka 2 y + b 2 h 2 + a 2 k 2 – a 2 b 2 = 0 Hyperbole hor. : b 2 x 2 - a 2 y 2 – 2hb 2 x + 2ka 2 y + b 2 h 2 - a 2 k 2 – a 2 b 2 = 0 Hyperbole vert.: b 2 x 2 - a 2 y 2 – 2hb 2 x + 2ka 2 y + b 2 h 2 - a 2 k 2 + a 2 b 2 = 0 c doit être positif Parabole ouverte vers le haut: x 2 - 2hx – 4cy + 4ck + h 2 = 0 c doit être positif Parabole ouverte vers le bas : x 2 – 2hx + 4cy – 4ck + h 2 = 0 c doit être positif Parabole ouverte vers la droite : y 2 – 4cx – 2ky + 4ch + k 2 = c doit être positif Parabole ouverte vers la gauche : y 2 + 4cx – 2ky - 4ch + k 2 = 0

Les régions intérieures et extérieures (inéquations) Pour toutes les coniques, sauf l’hyperbole horizontale les régions intérieures (< ou ≤) correspondent à celles qui contiennent le où les foyers

L’hyperbole horizontale est la seule exception, la région qui a les foyers est la région extérieure Les régions intérieures et extérieures (inéquation)