Identités remarquables Cours de 3ème SAGE P. Chapitre 5 Calcul littéral Identités remarquables

k(a+b) = ka + kb (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd k(a-b) = ka - kb I-RAPPELS 1) Écriture littérale - Identité  On appelle écriture littérale une écriture dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres. Exemples : A = 3x +2y – 3 B = 2(x+5)(4x-6)  Une identité est une égalité qui est toujours vraie. Exemples : 2×6=4×3 est une identité. 2) Nom d’une expression algébrique Une expression algébrique porte le nom de la opération effectuée. Exemples : C = (2x+1)(3x+2) est un D=x(2x-3) + x est une 3) Développer et factoriser Développer un produit, c’est le transformer en une algébrique Pour tous nombres a,b,c,d et k : dernière produit somme somme k(a+b) = ka + kb (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd k(a-b) = ka - kb ac - ad + bc - bd (a+b)(c-d) = Exemples : 3(x+2) = 3x+6 (x+1)(3+x) = 3x+x²+3+x = x²+4x+3 5(3x-1) = 15x-5 (2x+5)(x-2) = 2x²-4x+5x-10 = 2x²+x-10

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = Factoriser une somme algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit Exemples : x² + 2x = x ×x + 2x = x(x+2) 20 + 15x = 5×4 + 3×5x = 5(4+3x) (x+1)(x+3) – (2x-3)(x+1) = (x+1)[(x+3)-(2x-3)] = (x+1)[x+3-2x+3)] = (x+1)(-x+6) II-IDENTITES REMARQUABLES 1) Carré d’une somme Propriété : Pour tous nombres a et b : Développement (a+b)² = a² + 2ab + b² Démonstration : Factorisation (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b² (a-b)² = (a-b)(a-b) = a² - ab - ba + b² = Exemples : (3x+2)² = (3x)² + 2×3x×2 + 2² = 9x² + 12x + 4 16x² + 8x + 1 = (4x)² + 2×4x×1 + 1 = (4x+1)² 2) Carré d’une différence Propriété : Pour tous nombres a et b : Développement (a-b)² = a² - 2ab + b² Factorisation Démonstration : (a-b)² = (a-b)(a-b) = a² - ab - ba + b² = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b² Exemples : (2x-3)² = (2x)² -2×2x×3 + 3² = 4x² - 12x + 9 25x² - 20x + 4 = (5x)² - 2×5x×2 + 2² = (5x-2)²

(a+b)(a-b) = a² - b² (a+b)(a-b) = a² - ab + ba - b² = 3) Différence de deux carrés Propriété : Pour tous nombres a et b : Développement (a+b)(a-b) = a² - b² Factorisation Démonstration : (a+b)(a-b) = a² - ab + ba - b² = a² - ab + ab - b² = a² - b² Exemples : (x-2)(x+2) = x²-2² = x²-4 16x²-9 = (4x)²-3² = (4x-3)(4x+3)