Triangles Pythagore al Kashi Trigonométrie Produit scalaire Produit axial Aires Volumes

Aire du parallélogramme Surface perdue Ceci est un parallélogramme Surface gagnée Hauteur h (du rectangle comme du parallélogramme) Base b Ceci est un rectangle Les aires du rectangle et du parallélogramme sont égales Théorème : si un côté d’un parallélogramme glisse sur lui-même, son aire ne change pas. Théorème : l’aire d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Aires Sommet Ceci est un parallélogramme Hauteur h Ces deux triangles sont de même dimensions Base b Ceci est un triangle L’aire de chacun est donc la moitié de l’aire du parallélogramme Théorème : l’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Théorème de Pythagore Carrés construits sur les petits côtés Hypoténuse Terme d’architecture : poutre tendu en-dessous εποτείνσα Carré construit sur l’hypoténuse

Théorème de Pythagore Grâce aux théorèmes démontrés, vous pouvez comprendre pourquoi les triangles qui suivent ont tous la même aire.

Théorème de Pythagore Grâce aux théorèmes démontrés, vous pouvez comprendre pourquoi les triangles qui suivent ont tous la même aire. Ce triangle … … et celui-ci ont la même aire !

Par un raisonnement analogue, on démontre que Théorème de Pythagore Par un raisonnement analogue, on démontre que Grâce aux théorèmes démontrés, vous pouvez comprendre pourquoi les triangles qui suivent ont tous la même aire. Ce carré … Ce carré … … et ce rectangle … et ce rectangle ont la même aire ! ont aussi la même aire ! Théorème : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les petits côtés.

Théorème de Pythagore et traduisons l’énoncé du théorème dans le langage mathématique Nommons les longueurs des côtés Nommons les sommets C a b c A B c 2 = a 2 + b 2 AB 2 = AC 2 + CB 2 Théorème : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les petits côtés.

a’ b’ c’ A’ B’ C’ a b c A B C Principe fondamental de la géométrie (axiome) : si deux triangles ont les mêmes dimensions, ils ont les mêmes angles analogues. ^ ^ Exemple : a = a’ A = A’ ^ ^ si alors b = b’ B = B’ ^ ^ c = c’ C = C’ Application. 1- On construit un triangle A’B’C’ dont on ignore s’il est rectangle mais dont les trois longueurs obéissent à la formule de Pythagore : c’ 2 = a’ 2 + b’ 2 . 2- On construit un autre triangle ABC rectangle en C, mais tel que a = a’ et b = b’. Il obéit au théorème de Pythagore : c2 = a2 + b2 . On en déduit par substitution que c’ 2 = a2 + b2 donc que c = c’. Les deux triangles ayant les mêmes dimensions, ils ont les mêmes angles analogues ce qui fait de A’B’C’ un triangle rectangle en C’. Théorème (réciproque de celui de Pythagore) : si un triangle obéit à la formule de Pythagore il est rectangle.

Trigonométrie Qui inventa le mot « sinus » ? Johan Müller, dont le nom public fut Regiomontanus. le grand … Ce nom vint de sa ville natale : Königsberg (en allemand ’’colline du roi’’), latinisé en regio (règne) et montanus (colline), et aujourd’hui nommée Kaliningrad. C a b E d = 1 sin B ^ le petit … B A cos B ^ c D Comme AC et DE sont parallèles … … nous avons la proportion qui donne la définition le grand le petit ainsi que la proportion b a sin B ^ sin B ^ = b le grand le petit c a a 1 cos B ^ cos B ^ = côté opposé hypoténuse sin B ^ = c a 1 côté adjacent hypoténuse cos B ^ =

Trigonométrie Mais pourquoi ce mot ’’ tangente’’ ? le grand … C Le cercle trigonométrique (diapositive n° 19) va nous donner la réponse. a b E d = 1 sin B ^ le petit … B A cos B ^ c D 1 cos B ^ côté adjacent hypoténuse côté adjacent hypoténuse est l’inverse du quotient donc le quotient donc sa multiplication par le sinus donne sin B ^ 1 sin B ^ cos B 1 cos B ^ côté opposé côté adjacent ^ x soit côté opposé = nommé tangente de B sin B ^ = hypoténuse sin B ^ cos B = tan B cos B ^ côté adjacent = hypoténuse

Trigonométrie Avantages de la trigonométrie : 1- il est plus facile de diviser un segment de droite qu’un arc de cercle en parties égales C 2- Le sinus et le cosinus de l’angle sont indépendant de la taille du triangle rectangle. a b E d = 1 sin B ^ B A cos B ^ c D Appliquons le théorème de Pythagore : EB 2 = ED 2 + DB 2 soit 1 = sin 2 B + cos 2 B ^ côté opposé hypoténuse sin B ^ = sin B ^ cos B = tan B côté adjacent hypoténuse cos B ^ =

Le théorème d’al Kashi Ceci est un triangle rectangle … A C B … là, sur le sommet B a c b Pour lui, le théorème de Pythagore s’applique … c 2 = a 2 + b 2

donc cette correction est négative Le théorème d’al Kashi Ceci n’est pas un triangle rectangle … C a b A B c Pour lui, le théorème de Pythagore ne s’applique pas … Mais les mathématiciens ont cherché (et trouvé) une formule du même genre c 2 = a 2 + b 2 + correction Note : dans le nouveau triangle (en noir) les longueurs a et b sont plus grandes alors que c n ’a pas changé … donc cette correction est négative … donc les carrés a2 et b2 ont augmenté alors que c2 n’a pas varié … … donc c 2 est plus petit que a 2 + b 2,

donc cette correction est négative Le théorème d’al Kashi Soit CH la hauteur issue du sommet C Le triangle HBC est rectangle en H. Ceci n’est pas un triangle rectangle … Appliquons le théorème de Pythagore : C Appliquons la trigonométrie dans le triangle AHC a 2 = y 2 + h 2 avec y = c – x donc a 2 = (c – x) 2 + h 2 cos A ^ = x b a et l’identité remarquable (carré d’une différence) donne b h ^ b cos A = x a 2 = c 2 + x 2 – 2 c x + h 2 . H Mais nous reconnaissons dans cette formule une partie de celle de Pythagore du triangle AHC, rectangle en H A B c x y b 2 = x 2 + h 2 c 2 = a 2 + b 2 + correction qui donne donc cette correction est négative a 2 = c 2 + b 2 – 2 c x . La substitution de x donne ^ a 2 = c 2 + b 2 – 2 c b cos A . et a été identifiée à moins b c cos A ^ a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos A . ^ Retenons le théorème d’al Kashi :

Aire et sinus Les aires du rectangle et du parallélogramme sont égales Hauteur h Ceci est un parallélogramme Surface perdue Surface gagnée (du rectangle comme du parallélogramme) h Base b Retour sur la diapositive n° 2 c A ^ Aire = b h Trigonométrie ^ h c sin A = ^ Retour à l’aire Aire = b c sin A Ce triangle est un demi-parallélogramme Son aire est donc la moitié de celle du parallélogramme ^ C a c b 1 2 ^ Théorème : Aire = a b sin C

Cercle trigonométrique Ordonnée Arc x Rayon = 1 Abscisse O Angle x Ecriture : angle et arc sont écrits sans ’’ chapeau’’ x

Cercle trigonométrique Ordonnée M Arc x Abscisse O C cos x Le triangle OCM est rectangle en C La longueur de son hypoténuse est 1 OM OC cos x = = OC

Cercle trigonométrique Ordonnée M S sin x Arc x Abscisse O C cos x Le triangle OCM est rectangle en C La longueur de son hypoténuse est 1 OM CM sin x = = CM Comme OCMS est un rectangle CM = OS donc sin x = OS

O Arc x M S C cos x sin x O Arc x Abscisse Ordonnée M S C cos x sin x

Les droites (a) et (b) sont parallèles Tangente (orientée) donc la géométrie de Thalès donne T Droite (a) Droite (b) CM O’T Ordonnée OC OO’ (b) M CM ●OO’ OC sin c ● 1 cos x donc O’T = = S sin x Arc x d’où le nom de tangente donné au quotient (a) sinus cosinus Abscisse O C O’ cos x

Produits scalaire et axial Dans un triangle quelconque ABC le théorème d’al-Kashi nous dit que a b c A B C ^ a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A ^ Isolons le produit b c cos A : b2 + c2 – a2 2 ^ = b c cos A → → → → ^ qui est nommé produit scalaire du vecteur AB par AC AB AC = AB AC cos A L’aire de ce même triangle est donnée par 1 2 ^ ^ S = b c sin A. Isolons b c sin A Rappel : carré de x y = x y x y = x2 y2 ^ 2 S = b c sin A → → → → ^ qui est nommé produit axial du vecteur AB par AC AB Λ AC = AB AC sin A Additionnons les carrés des deux produits → → → → ^ ^ (AB AC )2 + (AB Λ AC )2 = (AB AC )2 (cos2 A + sin2 A) → → → → (AB AC )2 + (AB Λ AC )2 = AB 2 AC 2

Du plan à l’espace Un fait tout à fait remarquable : ces trois formules ont été définies ou établies en ne se servant que des propriétés du triangle quelconque, dans le cadre de la géométrie plane (à deux dimensions). Or, quelle qu’en soit sa position dans l’espace, un triangle appartient chacun au moins à un plan. Donc, dans l’espace (à trois dimensions), ces deux définitions et ce théorème s’appliquent tels quels. → → ^ AB AC = AB AC cos A → → ^ AB Λ AC = AB AC sin A (AB AC )2 + (AB Λ AC )2 = AB 2 AC 2 →

Produits scalaire et axial et formes a b c A B C b2 + c2 – a2 2 ^ = b c cos A Si il est positif : l’angle est aigu → → ^ AB AC = AB AC cos A Si il est négatif : l’angle est obtus Si il est nul : l’angle est droit ^ 2 S = b c sin A → → ^ AB Λ AC = AB AC sin A Si il est nul : l’angle est nul ou plat (aire du parallélogramme)2 + (produit scalaire)2 = (produit des deux longueurs)2 (AB AC )2 + (AB Λ AC )2 = AB 2 AC 2 →

Produit scalaire en coordonnées Y’ a b c A B C Le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées donne Y Abscisse X b2 = X’ 2 + Y’ 2 X’ c2 = X 2 + Y 2 a2 = (X’ – X )2 + (Y’ – Y ) 2 = X’ 2 + X 2 – 2 X X’ + Y’ 2 + Y 2 – 2 Y Y’ b2 – c2 – a2 = 2 (X X’ + Y Y’ ) parce que tous les carrés s’éliminent → → AB AC = X X’ + Y Y’

Produit axial en coordonnées Y Y’ D Y’ C a b Y B A c On complète le parallélogramme ABDC à partir du triangle ABC X Abscisse X’ X’ X Aire ABDC = aire de ce rectangle – aire de celui-ci – aire de celui-là (X + X’ ) (Y + Y’ ) – X’ Y – X’ Y X Y + X Y’ + X’ Y + X’ Y’ – aire de ce triangle – aire de celui-là X’ Y’ / 2 Y’ X’ / 2 – X’ Y’ – aire de ce triangle – aire de celui-là X Y / 2 Y X / 2 – X Y

Produit axial en coordonnées Y Y’ D Y’ C a b Y B A c X Abscisse X’ X’ X Aire ABDC = X Y’ – X’ Y – X’ Y – X’ Y X Y + X Y’ + X’ Y + X’ Y’ Bilan algébrique = Comme ABC est la moitié du parallélogramme ABDC, nous en concluons que – X’ Y’ X Y’ – X’ Y Aire ABC (X Y’ – X’ Y ) = 1 2 – X Y

Produit axial en coordonnées Y Y’ D Y’ C a b Y B A c X Abscisse X’ X’ X Aire ABDC = X Y’ – X’ Y → → AB AC Note : dressons un tableau des quatre coordonnées X X’ La formule de l’aire est la différence entre les produits croisés Y Y’ diagonale principale – diagonale secondaire

Produit axial en coordonnées Y Y’ D Y’ C a b Y B A c X Abscisse X’ X’ X Aire ABDC = X Y’ – X’ Y Attention : cette grandeur a un signe algébrique ! Oui, et les diapositives n° 41 et suivantes vous diront pourquoi ! En effet, si on permute les deux flèches AB et AC, cette différence change de signe ! Une aire de surface serait donc un nombre algébrique ? Dans le cas de cette figure, X et Y’ sont positifs et grands alors que X’ et Y sont positifs et petits, donc le signe de l’aire est positif.

Cercle trigonométrique Ordonnée angle et arc x – y A B sin x cos x Arc x rayon = 1 sin y cos y Arc y Abscisse Conclusion : cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y → → Exprimons le produit scalaire OA OB ^ ^ Il vaut OA OB cos AOB (diapositive n° 22) donc 1 x 1 cos AOB et aussi X X’ + Y Y ’ (diapositive n° 23) et cos x cos y + sin x sin y

Complétons le parallélogramme OACB Cercle trigonométrique C O Ordonnée Complétons le parallélogramme OACB A B sin x cos x Arc x rayon = 1 sin y cos y Arc y Abscisse Conclusion : cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y → → sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y Exprimons son aire OA ΛOB ^ ^ Elle vaut OA OB sin AOB (diapositive n° 22) donc 1 x 1 sin AOB et aussi X Y’ – Y X ’ (diapositive n° 23) et sin x cos y + cos x sin y

Arcs particuliers O Ordonnée (sinus) Arc nul : cos = 1 et sin = 0 Arc nul : π 2 cos = 0 et sin = 1 Arc nul : π cos = – 1 et sin = 0 Arc nul : 3 π 2 cos = 0 et sin = – 1 Arc nul : 2 π cos = 1 et sin = 0 cos – y = cos y Abscisse (cosinus) sin – y = – sin y Conclusion : Application : cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y sin (– y ) = sin (0 – y) = sin 0 cos y – cos 0 sin y sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y = 0 x cos y – 1 x sin y Application : cos (– y ) = cos (0 – y) = – sin y = cos 0 cos y + sin 0 sin y = 1 x cos y + 0 x sin y = cos y

Arcs particuliers O Ordonnée (sinus) Arc nul : cos = 1 et sin = 0 Arc nul : π 2 cos = 0 et sin = 1 Arc nul : π cos = – 1 et sin = 0 Arc nul : 3 π 2 cos = 0 et sin = – 1 Arc nul : 2 π cos = 1 et sin = 0 cos – y = cos y Abscisse (cosinus) sin – y = – sin y Conséquence : cos (x + y) = cos (x + (– y)) = cos x cos (– y) + sin x sin (– y) Conclusion : = cos x cos y + sin x (– sin y) cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y = cos x cos y – sin x sin y puis sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y sin (x + y) = sin (x – (– y)) cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y = sin x cos (– y) – cos x sin (– y) = sin x cos y – cos x (– sin y) sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y = sin x cos y + cos x sin y

Arcs particuliers O Ordonnée (sinus) Arc nul : cos = 1 et sin = 0 Arc nul : π 2 cos = 0 et sin = 1 Arc nul : π cos = – 1 et sin = 0 Arc nul : 3 π 2 cos = 0 et sin = – 1 Arc nul : 2 π cos = 1 et sin = 0 cos – y = cos y Abscisse (cosinus) sin – y = – sin y Monsieur Sinus est sympa : il s’accorde avec monsieur Cosinus Conclusion : et respecte la signature. cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y Môssieur Cosinus est teigneux : sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y il ne s’accorde qu’avec lui-même et inverse la signature. cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Et dans l’espace ? Nommons X, Y et Z les longueurs des arêtes d’un parallélépipède rectangle … Ce triangle est rectangle D 2 = X 2 + Y 2 X là ! Y L2 = D 2 + Z 2 on applique le théorème de Pythagore là ! Z Substituons D 2 : Ce triangle est rectangle Y L2 = X 2 + Y 2 + Z 2 X Théorème (de Pythagore en trois dimensions) : l’aire du carré construit sur la diagonale est égale à la somme des aires des carrés construits sur les trois arêtes issues d’un même sommet.

Et souvenons-nous qu’un carré de nombre est toujours positif Et dans l’espace ? Nommons X, Y et Z les longueurs des arêtes d’un parallélépipède rectangle … … sagement parallèles aux axes du repère de l’espace … … repère qui est orthonormé, Et souvenons-nous qu’un carré de nombre est toujours positif et parcourons la diagonale dans ce sens-là Cotes (Notons que Y et Z sont négatifs) Ordonnées Z L2 = X 2 + Y 2 + Z 2 Y X Abscisses Théorème (de Pythagore en trois dimensions) : l’aire du carré construit sur la diagonale est égale à la somme des aires des carrés construits sur les trois arêtes issues d’un même sommet.

Et dans l’espace ? Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets x’’y’’z’’ = A xyz = Ce triangle est disposé n’importe comment par rapport au repère B x’y’z’ = Ordonnées Abscisses Par convention, une flèche a comme coordonnées coordonné de la pointe coordonnée de l’empennage moins les différences

Et dans l’espace ? Exemples Cotes x’’ – x y’’ – y z’’ - z X ’ Y ’ Z ’ → = renommé C x’’y’’z’’ = A xyz = x’ – x y’ – y z’ – z XYZ AB → = renommé B x’y’z’ = x’’ – x’ y’’ – y z’’ - z BC → = que des calculs simples montrent Ordonnées X’ – X Y’ – Y Z’ – Z égal à Abscisses Par convention, une flèche a comme coordonnées les différences coordonné de la pointe coordonnée de l’empennage moins

Et dans l’espace ? Cotes X ’ Y ’ Z ’ c = → b = AC → = C b c a XYZ A AB Ordonnées B X’ – X Y’ – Y Z’ – Z BC → = = a → Abscisses

Et dans l’espace ? Exprimons les carrés des longueurs des côtés b2 = X ’2 + Y ’2 + Z ’2 X ’ Y ’ Z ’ → AC → c2 = X 2 + Y 2 + Z 2 b = = a2 = (X’ – X )2 + (Y’ - Y )2 + (Z’ – Z )2 a2 = X 2 + Y 2 + Z 2 + X’ 2 + Y’ 2 + Z’ 2 – 2 X X’ – 2 Y Y’ – 2 Z Z’ XYZ → AB → c = = L’application du théorème d’al-Kashi (diapositive n° 21) a b cos C = ^ a2 + b2 – c2 2 donne a b cos C = X X’ + Y Y’ + Z Z’ et à gauche de cette formule nous reconnaissons le produit scalaire (diapositive n° 21) X’ – X Y’ – Y Z’ – Z BC → = → = a = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c = AB AC Théorème (de Pythagore en trois dimensions) : l’aire du carré construit sur la diagonale est égale à la somme des aires des carrés construits sur les trois arêtes issues d’un même sommet.

Et dans l’espace ? Sur le plan Oxy ce triangle se projette ainsi, Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets les trois points Axy, Bxy et Cxy ayant comme les coordonnées les mêmes que leurs homologues A, B et C. C b c a A En conséquence, les flèches → → bxy et cxy ont les mêmes coordonnées que Ordonnées bxy B B → → Axy Bxy Cxy b et c soit respectivement cxy X Y Z et X’ Y’ Z’ Abscisses Nous savons (diapositives n° 25) que l’aire de Axy Bxy Cxy est la moitié de X Y’ – X’ Y = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = → = X Y’ – X’ Y b c Λ ( )xy X Y X’ Y’ = donc que le produit axial de ces deux flèches est X Y’ – X’ Y.

Et dans l’espace ? Intéressons-nous au signe de cette aire. Cotes Nous avons vu, diapositive n° 27 que le signe de l’aire AxyBxyCxy est positive. Ecrivons les coordonnées des sommets C b c a Présentons le long de l’axe Oz une vis standard … A Si celle-ci tourne dans le même sens que ABC (donc que sa projection AxyBxyCxy) Ordonnées bxy B B Axy Bxy Cxy alors la vis translate le long de l’axe Oz vers les cotes positives cxy Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = → = X Y’ – X’ Y b c Λ ( )xy X Y X’ Y’ =

Et dans l’espace ? Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets Note : le sens de rotation est (par rapport au repère) de Ox vers Oy C b c a A Ordonnées bxy B B Axy Bxy Cxy cxy Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = → → X Y X’ Y’ = ( )xy b Λ c = X Y’ – X’ Y

Et dans l’espace ? Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets C b c a Si la vis tourne dans le même sens que ACB (permutation des rôles des flèches AB et AC) A et, par rapport au repère de Oy vers Ox Ordonnées bxy B B Axy Bxy Cxy alors la vis translate le long de l’axe Oz vers les cotes négatives cxy Abscisses Que se passe-t-il sur les deux autres plans Oyz et Oxz ? = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = ( )yx → = X’ Y – X’ Y c b Λ X’ Y’ XY =

Et dans l’espace ? Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets C b c a bxy B B Axy Bxy Cxy cxy Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = → = X Y’ – X’ Y b c Λ ( )yz Y Z Y’ Z’ =

Et dans l’espace ? Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets C b c a bxy B B Axy Bxy Cxy cxy Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = → → Z X Z’ X’ = ( )zx b Λ c = Z X’ – Z’ X

Et dans l’espace ? 42 44 45 Diapositive n° Récapitulons : Cotes Ecrivons les coordonnées des sommets Y Z Y’ Z’ C b c a Nouveau → b c Λ A Z X Z’ X’ = X Y X’ Y’ Ordonnées B B Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ =

Et dans l’espace ? → b c Λ Voyons si la longueur de cette flèche est bien le double de l’aire du triangle ! Pour cela, utilisons le résultat de la diapositive n° 22 (AB AC ) 2 + (AB Λ AC ) 2 = AB 2 AC 2 → défini à partir du théorème d’al Kashi égal au double de l’aire du triangle qui est le produit des carrés des longueurs → b c Λ X Y X’ Y’ Y Z Y’ Z’ Z X Z’ X’ = car cette formule est applicable telle quelle dans l’espace ! Nouveau Il suffit alors de démontrer que AB → AC Λ 2 = Nouveau – AB 2 AC 2 Suivant cette idée, dans l’espace, une aire est un vecteur ! = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ

Et dans l’espace ? et c’est gâââgné ! → b c Λ = Nouveau 2 = (abscisse)2 + (ordonnée)2 + (cote)2 Y Z Y’ Z’ Carré de l’abscisse = Y 2 Z’ 2 + Y’ 2 Z 2 – 2 Y Z Y’ Z’ Carré de l’ordonnée = Z 2 X’ 2 + Z’ 2 X 2 – 2 X Z X’ Z’ Nouveau Carré de la cote = X 2 Y ’ 2 + X’ 2 Y 2 – 2 X Y X’ Y’ → b c Λ Z X Z’ X’ = soit le total de ceci et c’est gâââgné ! Il suffit alors de démontrer que AB → AC Λ 2 = Nouveau – AB 2 AC 2 X Y X’ Y’ AB 2 AC 2 = (X 2 + Y 2 + Z 2) (X’ 2 + Y’ 2 + Z’ 2) = X 2 X’ 2 + X 2 Y’ 2 + X 2 Z’ 2 + Y 2 X’ 2 + Y 2 Y’ 2 + Y 2 Z’ 2 + Z 2 X’ 2 + Z 2 Y’ 2 + Z 2 Z’ 2 AB 2 AC 2 – AB Λ AC → 2 = ci-dessus – 2 X X’ Y Y’ – 2 X X’ Y Y’ – 2 Y Y’ Z Z’ = AB → AC 2 = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = X 2 X’ 2 + Y 2 Y’ 2+ Z 2 Z’ 2 + 2 X X’ Y Y’ + 2 X X’ Y Y’ + 2 Y Y’ Z Z’ = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ

Et dans l’espace ? Cotes → b c Λ X Y X’ Y’ Y Z Y’ Z’ Z X Z’ X’ = C Nouveau C représente en trois dimensions deux fois l’aire de ce triangle b c a A Ordonnées B B Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ

Comment cette flèche est-elle orientée ? Et dans l’espace ? AB → AC Λ Le calcul du produit scalaire de AB → ou AC Cotes par donne toujours zéro donc (diapositive n° 23) la flèche aire est perpendiculaire à la fois à → b c Λ X Y X’ Y’ Y Z Y’ Z’ Z X Z’ X’ = Nouveau AB → et AC Comment cette flèche est-elle orientée ? C b c a A par exemple : AB → AC Λ = (Y Z’ – Y’ Z) X + (Z X’ – Z’ X) Y + (X Y’ – X’ Y) Z Ordonnées B B = Y Z’ X – Y’ Z X + Z X’ Y – Z’ X Y + X Y’ Z – X’ Y Z Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ

Et dans l’espace ? … nous savons qu’elle est dans ce sens là ! Flèche aire S → Cotes donc (diapositive n° 23) la flèche aire est perpendiculaire à la fois à → b c Λ X Y X’ Y’ Y Z Y’ Z’ Z X Z’ X’ = Nouveau AB → et AC Mais dans quel sens ? C b c a A avec ces deux angles droits B B donc est parallèle à cette ligne Grâce à la règle de la vis standard … Abscisses = X X’ + Y Y’ + Z Z’ b → c AB AC = = Y Z’ – Y’ Z Z X’ – Z’ X X Y’ – X’ Y AB → AC Λ

Volumes Glissement de la face supérieure sur elle-même Le prisme droit est devenu un parallélépipède quelconque hauteur = h Volume = A h Aire de la base = A Ceci est un parallélépipède rectangle Fig 072

Histoire de volume … hauteur = h Volume = A h Aire de la base = A Volume perdu Fig 073

Volume gagné hauteur = h Volume = A h Aire de la base = A Volume perdu Fig 074

Volume gagné Volume perdu Ils sont égaux hauteur = h Volume = A h Aire de la base = A Fig 075

Volumes → Ceci est la flèche aire A dont la longueur est A ici ! hauteur = h → → = c cos α a b c Volume = A h = A c cos α qui est le produit scalaire A c Ce triangle est rectangle Angle α Aire de la base = A Retenons la formule du volume du parallélépipède → → → → V = A c = A c cos (A ; c ) Fig 072

Volumes → Ceci est la flèche aire A dont la longueur est A a b c Aire de la base = A Angle (A ; c ) → Retenons la formule du volume du parallélépipède → → → → V = A c = A c cos (A ; c ) Fig 072

Λ = S = → a b x y x’ y’ y z y’ z’ z x z’ x’ Abscisse x Ordonnée y Cote z (Voir diapositive n° 52) → c = x’’ y’’ z’’ → b = x’ y’ z’ a → = x y z Le volume est ce produit scalaire exprimé en coordonnées (diapositive n° 52) V = A c = A c cos (A ; c ) → Retenons la formule du volume du parallélépipède x y x’ y’ z x z’ x’ V = y z y’ z’ x’’ + y’’ z’’

Exprimons sous forme de tableau Λ = S = → a b x y x’ y’ y z y’ z’ z x z’ x’ x x’ x’’ y y’ y’’ z z’ z’’ Abscisse x Ordonnée y Cote z (Voir diapositive n° 52) V = → c = x’’ y’’ z’’ Numérotons (de 1 à 3) les lignes (premier n°) et les colonnes (second n°) → b = x’ y’ z’ x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 V = a → = x y z Développons : V = y z’ x’’ – z y’ x’’ + z x’ y’’ – x z’ y’’ + x y’ z’’ – y x’ z’’ V = x21 x32 x13– x31 x22 x13 + x31 x12 x23 – x11 x32 x23 + x11 x22 x33 – x21 x12 x33 x y x’ y’ z x z’ x’ V = y z y’ z’ x’’ + y’’ z’’

On appelle déterminant ce procédé de calcul. Le calcul de V est une somme algébrique de six produits de trois facteurs chacun. Comment deviner leur signe ? Recopions la formule du volume en mettant dans l’ordre naturel les numéros des lignes V = x13 x21 x32– x13 x22 x31+ x12 x23 x31 – x11 x23 x32 + x11 x22 x33 – x12 x21 x33 . et comptons les inversions de l’ordre des colonnes (en rouge) 3 1 3 3 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 2 2 1 1 2 1 1 3 3 1 2 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 1 3 pair impair pair impair pair impair x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 Conclusion : le signe d’un produit est (– 1) élevé à une puissance égale au nombre d’inversions de l’ordre des colonnes. V = Deux est pair. Trois est impair. On appelle déterminant ce procédé de calcul. Développons : V = y z’ x’’ – z y’ x’’ + z x’ y’’ – x z’ y’’ + x y’ z’’ – y x’ z’’ V = x21 x32 x13– x31 x22 x13 + x31 x12 x23 – x11 x32 x23 + x11 x22 x33 – x21 x12 x33 x y x’ y’ z x z’ x’ V = y z y’ z’ x’’ + y’’ z’’

C’est bien grâce à eux que ce document a pu voir le jour. Les triangles et Denis Chadebec remercient les élèves ’’décrocheurs’’ pour leur très fructueuse coopération Rien n’est plus agréable que de voir un enfant en difficulté s’épanouir ! C’est bien grâce à eux que ce document a pu voir le jour.