V Suite géométrique : 1°) Définition : un+1 La suite (un) est géométrique si et seulement si le rapport entre tous les termes voisins est constant ( et aucun terme nul, qui est le cas courant ). un+1 = Cte pour tous les n de l’ensemble de définition ( N ou N* ). un Ce rapport constant est appelé « Raison de la suite géométrique ». ( notée q pour la différencier de celle d’une suite arithmétique )

2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc …

un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q

un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = … 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = …

un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc … 2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc …

2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à …

2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à f(x) = f(0) × qx donc à une fonction f …

2°) Conséquences : un+1 / un = Cte = q donc un+1 = un × q un / u0 = qn-0 donc un = u0 × qn qui correspond avec les notations de fonctions à f(x) = f(0) × qx donc à une fonction f exponentielle ( étudiées en Tale ) x 2 7 10 12 fct puissance x2 4 49 100 144 fct exponentielle 2x 4 128 1024 4096

3°) Relations : un+1 / un = Cte = q donc un / um = qn - m permet de déterminer n’importe quel terme à partir d’un autre connu lorsque l’on connaît la raison, ou permet de déterminer la raison à partir de deux termes connus.

4°) Courbe d’une suite géométrique un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 0 1 2 3 4

4°) Courbe d’une suite géométrique un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = 1 0 1 2 3 4

4°) Courbe d’une suite géométrique un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = 1 u1 = u0 × 1 = u0 0 1 2 3 4

4°) Courbe d’une suite géométrique un+1 = un × q Etudions les différentes courbes selon la raison q avec u0 > 0 1er cas : q = 1 un+1 = un × 1 = un 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > 1 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > 1 q × u0 > 1 × u0 u1 > u0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 2ème cas : q > 1 q × un > 1 × un un+1 > un 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < 1 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < 1 0 × u0 < q × u0 < 1 × u0 0 < u1 < u0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 3ème cas : 0 < q < 1 0 × un < q × un < 1 × un 0 < un+1 < un 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0 u1 = u0 × q = un × 0 = 0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 4ème cas : q = 0 un+1 = un × q = un × 0 = 0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = - 1 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = - 1 u1 = u0 × q = u0 × (-1) = - u0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 5ème cas : q = - 1 un+1 = un × q = un × (-1) = - un 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < 0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < 0 - 1 × u0 < q × u0 < 0 × u0 - u0 < u1 < 0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 6ème cas : - 1 < q < 0 - 1 × un < q × un < 0 × un ( si un positif ) - un < un+1 < 0 - 1 × un > q × un > 0 × un ( si un négatif ) 0 < un+1 < - un 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < - 1 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < - 1 q × u0 < - 1 × u0 u1 < - u0 0 1 2 3 4

un+1 = un × q u0 > 0 7ème cas : q < - 1 q × un < - 1 × un ( si un positif ) un+1 < - un q × un > - 1 × un ( si un négatif ) un+1 > - un 0 1 2 3 4

5°) Sens de variation d’une suite géométrique : pour des raisons positives ou nulle q ≥ 0 q > 1 q = 1 0 < q < 1 0 1 2 3 4 q = 0

5°) Sens de variation d’une suite géométrique : q > 1 str. croissante q = 1 constante 0 < q < 1 str. décroissante 0 1 2 3 4 q = 0 constante sur N*

5°) Sens de variation d’une suite géométrique : pour des raisons négatives q < 0 q < - 1 q = - 1 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0

5°) Sens de variation d’une suite géométrique : alternativement croissantes et décroissantes dès que la raison est < 0 q < - 1 q = - 1 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0

6°) Limite d’une suite géométrique :

6°) Limite d’une suite géométrique :

6°) Limite d’une suite géométrique :

6°) Limite d’une suite géométrique :

6°) Limite d’une suite géométrique :

6°) Limite d’une suite géométrique : q < - 1 q = - 1 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0

6°) Limite d’une suite géométrique : q < - 1 pas de limite q = - 1 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0

6°) Limite d’une suite géométrique : q < - 1 pas de limite q = - 1 pas de limite 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0

6°) Limite d’une suite géométrique : q < - 1 pas de limite q = - 1 pas de limite 0 1 2 3 4 - 1 < q < 0 0

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un.

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S - …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 =

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( … ) = u1 ( 1 - qn )

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = …

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q )

7°) Somme des n premiers termes : S = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un On veut une formule permettant de déterminer S sans devoir utiliser tous les termes de u1 à un. q S = q ( u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) = q u1 + q u2 + q u3 + … + q un-1 + q un = u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 on a toujours trop de termes : comment en éliminer ? S – q S = (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un ) – (u2 + u3 + u4 + … + un + un+1 ) = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un – u2 - u3 - u4 - … - un - un+1 = u1 - un+1 = u1 – qn u1 = u1 ( 1 - qn ) donc S ( 1 - q ) = u1 ( 1 - qn ) donc S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

7°) Somme des n premiers termes : Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

7°) Somme des n premiers termes : Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? Uniquement lorsque la suite est définie sur N* S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1

7°) Somme des n premiers termes : Cette formule a-t-elle été démontrée dans tous les cas ? Uniquement lorsque la suite est définie sur N* S = u1 ( 1 - qn ) / ( 1 – q ) si q ≠ 1 La même démonstration permet d’obtenir la formule correspondante, et l’on retiendra la formule générale : 1 – q nb de termes S = 1er terme si q ≠ 1 et si la suite est 1 – q géométrique !

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ?

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n.

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r donc un = - r / ( 1 – q )

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r donc un = - r / ( 1 – q ) donc un = Cte donc la suite est une suite constante.

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Si la suite (un) est arithmétique, alors un+1 - un = Cte = r pour tous les n. Si la suite (un) est géométrique, alors un+1 / un = Cte = q pour tous les n. Donc un+1 = un + r et un+1 = un × q Donc un+1 = un + r = un × q donc un - un × q = - r donc un ( 1 - q ) = - r R et q fixés et un dépend de n, donc un = Cte donc la suite est une suite constante. un+1 - un = r donc r = un+1 - un = un - un = 0 et un+1 / un = q donc q = un+1 / un = un / un = 1

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques … possibilités

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques 3 possibilités

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités … possibilités

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités 7 possibilités

Remarque : une suite peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique ? Recherche graphique : pour un u0 fixé suites arithmétiques suites géométriques 3 possibilités 7 possibilités la seule qui convienne est la suite constante arithmétique et géométrique