Analyse dynamique du mouvement

Partie I Mouvements en translation

I - Principe de force

Principe de force : définitions Définition : cause capable de mettre un corps en mouvement modifier le mouvement d’un corps déformer un corps Exemples : coup de pied dans un ballon rebond sur le sol appuyer sur un objet

Principe de force : définitions Exprimée sous forme vectorielle direction sens norme = intensité point d’application Unité : le Newton

Principe de force : définitions Nature des forces Forces de contact réaction (appui sur un support : saut en hauteur) tension fil/ressort sur un objet (lancer du marteau) frottement (eau sur une planche à voile)

Principe de force : définitions Forces à distance gravitation (chute après un saut) magnétisme (aimant) électrostatique (règle en plastique) Forces d’inertie (uniquement pour des repères non galiléens) coriolis (tourbillon) entraînement (canoë dans une rivière)

Principe de force : définitions Bilan des forces définir le système considéré classer les forces externes (provenant d’un corps étranger à S) internes (interaction d’une partie de S avec une autre) S : joueur Force externe : gravité Forces internes : forces musculaires

Principe de force : propriétés Additivité des forces plusieurs actions mécaniques Ai agissent sur S

Principe de force : propriétés Principe d’action/réaction ou 3ème loi de Newton Principe d’actions réciproques Exemple : poids et réaction du sol

Principe de force : exemple Un système mécanique est un ensemble de « corps » en interaction

Principe de force : exemple Le camion avance grâce à une force motrice La force exercée par la remorque sur le camion est égale à la somme des forces qui s’exercent sur la remorque (hormis celle exercée par le camion) Chaque roue est soumise à une force de frottement Le camion est soumis à une force de résistance à l’avancement de l’air

Principe de force : exemple

II - Relation Fondamentale de la Dynamique

Relation Fondamentale de la Dynamique Quantité de mouvement Grandeur associée à la capacité d’un système à avancer, à la résistance (inertie) qu’il oppose lorsqu’on cherche à l’arrêter ! P (poids)  p (quantité de mouvement)

Relation Fondamentale de la Dynamique Définition La RFD (2ème loi de Newton) exprime le lien qui existe naturellement entre les les causes du mouvement (forces) et ses conséquences (accélération, vitesse, etc.)

Relation Fondamentale de la Dynamique Si m est constante Si m n’est pas constante Il vaut mieux être dans le premier cas et éviter les protocoles faisant varier une masse

Relation Fondamentale de la Dynamique Objet isolé : Objet ne subissant aucune force externe Exemple : Solide en apesanteur sans contact Objet pseudo-isolé : Objet tel que la somme des forces externes qui s’y appliquent soit nulle Exemple : Solide statique sur le sol (Poids + Réaction du sol = 0)

Relation Fondamentale de la Dynamique Principe de Conservation de l’Inertie (PCI, appelé aussi 1ère loi de Newton) : Un objet isolé ou pseudo-isolé est en mouvement rectiligne uniforme Explication :

III - Trajectographie

Trajectographie Trajet : Ensemble des points par lesquels passe un objet ponctuel en mouvement Trajectoire : Ensemble des points du trajet et des instants auxquels l’objet y passe A B A B t2 t3 t9 t1 t8 t0 t4 t7 t5 t6

Trajectographie Problème : Comment remonter à la trajectoire à partir d’une analyse mécanique ? 1) Bilan des forces 2) Application de la RFD 3) Accélération  Vitesse 4) Vitesse  Trajectoire

! Trajectographie Problème : Position Vitesse Accélération dérivation dérivation Position Vitesse Accélération intégration intégration Accélération Vitesse Position ! Problème : Une fonction n’a qu’une seule dérivée Une fonction a plusieurs intégrales

Trajectographie : exemple Application au cas de la chute libre Bilan des forces : Seules forces : le poids P, le frottement f z y P O x

Trajectographie : exemple RFD On néglige les frottements  Accélération

Trajectographie : exemple Vitesse Position

V - Impulsion

Impulsion Intégration de la RFD Aire d’impulsion est appelée aire dynamométrique et mesure la quantité de mouvement communiquée au corps par l’action musculaire (aire = effort multiplié par durée)

Impulsion Sachant que : donc : Cas particulier: On peut écrire :

(après - avant l ’impulsion) Cas général: exemple d’une foulée Poids Réaction du sol Bilan des forces: Donc, On obtient en intégrant la RFD Variation de vitesse (après - avant l ’impulsion)

Impulsion  comment déterminer ? tL Poids Réaction du sol t0 Poussée Réception Décollage tL t0  comment déterminer ?

Impulsion Plate-forme de force = mesure la force exercée sur la plate-forme En fait, (3ème loi de Newton)

Partie II Mouvements en rotation

I - Cinématique de la rotation

Cinématique de la rotation Repérer un point dans l’espace 3 paramètres de position : X, Y, Z Repérer un solide dans l’espace 3 paramètres d’orientation : a, b, g Z Y X g b Z a X Y

Cinématique de la rotation Exemple : Orientation d’un avion a : lacet b : tangage g : roulis a b g ! Importance de l’ordre des angles

Cinématique de la rotation Vitesse angulaire : Définition : variation d’orientation d’un objet Dual de la vitesse linéaire (vitesse en translation) z M R  y O A x

Cinématique de la rotation Lien entre vitesse angulaire et vitesse linéaire Cette relation est vraie pour n’importe quel couple de points du solide (pas seulement O et M)  est en rad/s V est en m/s OM est en m ! O M

Cinématique de la rotation Mouvement d’un solide exprimé par : sa vitesse angulaire, identique pour tous les points la vitesse linéaire d’un point quelconque du solide en général, on choisit le centre de masse  la vitesse linéaire des autres points se retrouve grâce à la relation entre vitesse angulaire et vitesse linéaire

II - Moment de force

Moment de force Définition : effet d’une force suivant un axe = la tendance qu’a une force à engendrer une rotation Force F agissant sur un corps en un point M. Le corps tourne autour du point O.  M F O

Moment de force Paramètres intervenant sur le moment de force force axe de rotation distance entre point d’application et centre de rotation (plus c’est loin plus c’est facile) Résultat = vecteur direction : perpendiculaire au plan formé par le corps et la force sens : pour former un repère direct unité : Newton * mètres [N.m]

Moment de force Remarque : pour un même moment, c’est la force appliquée le plus loin possible de l’axe de rotation qui est la plus faible (et donc la plus économique)  bras de levier M3 M2 M1 O OM1 < OM2 < OM3 F1 > F2 > F3 F3 F2 F1

Moment de force Calcul de la grandeur numérique + O d M  F d est appelé bras de levier (perpendiculaire à la force passant par l’axe)

Moment de force Exemple des pompes On génère une force de 80N L1=1.80m, L2=1.50m Quel est le meilleur positionnement des mains pour effectuer un mouvement de pompe ? L2 L1

Moment de force Cas 1 : L1  meilleure solution : Cas 2 : L2 plus grande tendance à tourner

Moment de force Équilibre en rotation Rappel en translation : En rotation, s’il y a équilibre, il n ’y a pas de déplacements, donc : Donc, pour avoir un équilibre complet, il faut les deux équilibres (rotation + translation)

III - Moment cinétique

Moment cinétique Définition Équivalent de la quantité de mouvement pour les rotations pour un point : unité : [m2.Kg.s-1] Remarques : définition d’un point matériel choix d’un repère R choix du point O

Moment cinétique Théorème du moment cinétique Relation fondamentale de la dynamique En multipliant par OM les deux termes (attention à l ’ordre des termes) où F est la résultante des forces externes et p est la quantité de mouvement c’est à dire, par déf. (1)

Moment cinétique Par définition, En dérivant : Or, la dérivée d’un produit (u.v)’=u’.v + u.v ’, d ’où

Moment cinétique (2) (1) Grâce à (1) et (2) : Théorème du moment cinétique : Ce théorème est le pendant de la relation fondamentale de la dynamique pour les mouvements en rotation

Moment cinétique Utilisation du théorème du moment cinétique S’il n ’y a pas de mouvement, Utilisé pour les calculs d ’impulsion en rotation (idem que pour la relation fondamentale de la dynamique) on retrouve donc le principe d ’équilibre en rotation :

Moment cinétique Un outil de calcul : le moment d’inertie  dual de la masse G G IG=mrG2 IP=md2+IG Pour un segment Généralisation à tout le corps

! Moment cinétique Cas particulier du calcul du moment cinétique Pour un segment rigide Où I est le moment d’inertie du segment ! Cas particulier du calcul du moment cinétique donc plus r est grand, plus I est important G donc, pour un L constant,  varie à l’inverse de I

Moment cinétique Exemple du plongeon en arrière sur tremplin F (réaction tremplin) = 2700N durée impulsion = 0.087s d=0.6m I = 15 Kg.m2 t = 0, t+dt?

Moment cinétique A partir du théorème du moment cinétique, on procède comme avec une impulsion « linéaire » Dans l’exemple du plongeon, on a un seul moment : celui lié à la force appliquée sur les pieds, à une distance d du centre de masse du plongeur

Moment cinétique

Moment cinétique

Etude mécanique de la rotation Application au modèle polyarticulé humain : 14 segments solides Référentiel choisi = R* (référentiel barycentrique) Moment cinétique en R* = Pour un point matériel

Etude mécanique de la rotation Pour un solide Si (Gi) Rotation du segment autour de son Gi Quantité de rotation du Gi du segment autour du G Gi Si G

Etude mécanique de la rotation Modèle du corps humain = 14 segments Pour référentiel non barycentrique (Th. De Koenig) Interne Externe : ne concerne que G

Etude mécanique de la rotation Remarques importantes le moment cinétique dans R* est indépendant du point où on le calcule dém. : si on remplace R par R* dans Koenig, le vecteur vitesse VG/R* est nul

Etude mécanique de la rotation Si on suppose le système rigide, on peut simplifier l ’équation qui devient : car, comme le système est rigide, quelque soit i, on a

Etude mécanique de la rotation Exemple du chat Comment fait le chat pour se retourner sans avoir d’impulsion en rotation au départ ? Pas d’impulsion 

Etude mécanique de la rotation Équilibre en rotation dans le mouvement de course comment avoir une direction rectiligne alors que les forces de réaction au sol appliquent des moments sur le corps ?  Il y a donc une impulsion en rotation F

Etude mécanique de la rotation Le corps est décomposé en deux parties : sup. et inf. si on ne veut pas tourner, il faut l’équilibre en rotation Le haut du corps doit tourner en sens opposé

Analyse énergétique du mouvement

I - Travail, Puissance

Travail d’une force Le travail d’une force quantifie la capacité à avoir généré un mouvement Le travail de F sur le trajet AB vaut : F est supposée constante pendant le déplacement du solide ponctuel de A vers B F A F B TF (AB) = F . AB

Travail d’une force Le travail d’une force est un scalaire Il s’exprime en Joules (J) Il est maximum lorsque la force est dans le sens du déplacement Un travail négatif correspond à une force résistive pour le mouvement

Travail d’une force Le travail correspond à celui de la force utile FU A F B F TF (AB) = F . AB = FU . AB

dt : durée élémentaire pour passer d’un point Ai au point suivant Ai+1 Travail d’une force Lorsque la force n’est pas constante F est supposée constante sur AA1 F F A An= B A1 Ai F F TF (AA1) = F . AA1 = F . VA dt dt : durée élémentaire pour passer d’un point Ai au point suivant Ai+1

Travail d’une force Pour l’ensemble du trajet AB : Expression générale du travail : TF (AB) = TF (AA1) + TF (A1A2) + … + TF (An-1B) = F . VA dt + F . VA1 dt + … + F . VAn-1 dt TF (AB) = F(t) . V(t) dt

Puissance La puissance d’une force quantifie sa rapidité à exercer un travail Puissance moyenne : C’est un scalaire exprimé en Watt (W) (1 W = 1 J/s) tAB : durée du parcours de A vers B

Puissance Puissance instantanée en un point A du trajet : C’est la dérivée du travail par le temps

Travail d’une force : cas du solide Pour un solide il faut tenir compte de la rotation autour de son centre de gravité Travail d’une force : Travail d’un moment : TF = F(t) . VG(t) dt TM = MG(t) . w(t) dt

Puissance : cas du solide Puissance instantanée d’une force sur un solide Puissance instantanée d’un moment sur un solide

II - Energie

Energie L’énergie est le résultat du travail Elle s’exprime également en Joules (J) Elle est classée en deux types : énergie potentielle énergie cinétique

Energie potentielle Energie potentielle : c’est l’énergie accumulée par un solide soumis : - soit à la pesanteur - soit à l’action d’un ressort La pesanteur et l’action d’un ressort sont des forces qui « dérivent d’un potentiel » Un niveau d’énergie potentielle correspond à une position donnée

Energie potentielle Energie potentielle de pesanteur Ep = m g h z h Sol Ep = m g h

Energie potentielle Energie potentielle élastique Position de repos Compression l K : constante de raideur

Energie cinétique C’est l’énergie acquise par le mouvement Elle est liée à la vitesse du solide Pour un solide ponctuel : V est la vitesse calculée dans un repère galiléen

Energie cinétique Pour un solide, il faut tenir compte de la rotation Energie cinétique de translation : Energie cinétique de rotation :

Energie cinétique Pour un ensemble S de solides ponctuels Si : Or, on a : D’où :

Energie cinétique Le premier terme représente l’énergie cinétique de S vu comme un seul point, son centre de masse Le second représente l’énergie cinétique par rapport au centre de masse C’est l’énergie cinétique interne

Energie cinétique Pour un système de solides rigides : Energie cinétique « externe » Energie cinétique « interne » ou de gesticulation

L’énergie mécanique d’un système isolé reste constante Energie mécanique L’énergie mécanique d’un système est la somme de ses énergies potentielle et cinétique : Théorème de conservation de l’énergie mécanique L’énergie mécanique d’un système isolé reste constante

Energie mécanique

Théorème de l’énergie cinétique La variation d’énergie cinétique d’un système entre deux instants est la somme du travail des forces internes et du travail des forces externes dans le même intervalle de temps

Théorème de l’énergie cinétique Cas où les forces externes sont uniquement le poids P et la réaction du sol R : Le théorème de l’énergie cinétique se réduit à :

Théorème de l’énergie cinétique Etude du salto arrière

Rendement énergétique Le travail des forces et moments internes correspond à l’énergie mécanique fournie par le « moteur métabolique » : Travail des forces et moments internes Energie métabolique produite R =

Rendement énergétique Méthode globale d’évaluation de TFint Problème : pour un mouvement en « régime stationnaire » (Ex: course à vitesse constante) l’énergie cinétique est (à peu près) constante  Travail des forces internes nul !

Rendement énergétique Méthode locale : calcul des puissances à chaque articulation TFint = En apparence plus rigoureux, mais en pratique très difficile (voire impossible) à calculer Les puissances Pi peuvent être négatives. On peut donc (en théorie) arriver à un travail des efforts internes négatif ou nul

Rendement énergétique Proposition : tout effort, qu’il soit résistif ou effectivement moteur correspond à un flux d’énergie métabolique (positive par définition) Il suffit donc de ne pas sommer les puissances Pi mais leurs valeurs absolues pour obtenir l’énergie mécanique totale consommée : Tcumulé Fint =

Rendement énergétique Problème : ça n’explique pas du tout en quoi un flux d’énergie (positive) correspond à un travail négatif Il doit y avoir une erreur dans le calcul des puissances : si elles sont motrices elles ne peuvent être que positives! Question primordiale : d’où viennent les erreurs ?

Rendement énergétique Les erreurs viennent des approximations Premier exemple : Le cycliste qui arrête de pédaler (sur terrain plat) Cas idéal : sa vitesse reste constante  pas de variations de l’énergie cinétique, ni de l’énergie potentielle On retrouve un travail des efforts internes nul correspondant à la variation nulle d’énergie cinétique

Rendement énergétique Cas réel : sa vitesse reste diminue  variation négative de l’énergie cinétique Par application directe de la méthode globale, on trouve un travail des efforts internes négatif Ce qu’on néglige c’est l’action des forces de frottements de l’air Le travail associé à ces forces est négatif et correspond à la variation d’énergie cinétique  On retombe sur un travail des efforts internes nuls

Rendement énergétique Deuxième exemple : Un athlète qui court à vitesse constante sur un tapis horizontal L’énergie cinétique est invariante (ou presque) On peut négliger les frottements de l’air car sa vitesse par rapport à l’air est nulle (ou presque)  Le travail des efforts internes est nul !

Rendement énergétique Ce qui est négligé c’est la déperdition d’énergie lors des chocs qui correspond au travail des efforts internes Le théorème de l’énergie cinétique n’est valable que pour un système fermé du point de vue mécanique Energie cinétique Travail des efforts internes Déperdition A cause de l’interaction avec le sol, le coureur n’est pas un système mécaniquement fermé

Bilan

+ Analyse dynamique Relation Fondamentale de la Dynamique Généralisée Mise en relation : des causes (Forces, Moments) des conséquences (Accélération, Variation de la quantité de rotation)

Théorème de l’énergie cinétique Analyse énergétique Théorème de l’énergie cinétique Mise en relation : des causes (Travail des forces et des moments) des conséquences (Variation de l’énergie cinétique)