Une palette de procédures au service des stratégies de calcul

Calcul en ligne et mental Des connaissances sur Un ensemble de faits numériques disponibles en mémoire Un ensemble de procédures automatisées  des stratégies de calcul possibles (*) Faits numériques : ressources disponibles acquises Procédures qui s’appuient sur : Les propriétés (implicites) des opérations (*) Les propriétés (explicites) des nombres (*) Les conventions mathématiques : Le sens et usage des parenthèses, Le sens du signe égal comme équivalence numérique, La valeur de position dans l’écriture chiffrée des nombres Les différents systèmes symboliques pour représenter et pour calculer (*) Calcul en ligne (avec support écrit) et mental (sans support écrit) Le calcul en ligne n’est pas une nouveauté (il existe dans les programmes et documents d’accompagnements antérieurs). Ce qui est nouveau, c’est la place de ce calcul dans les programmes : « La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et d’entraînement est plus importante que celle accordée au calcul posé. » « Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’en aval d’activités proposées en calcul mental ou en ligne. » 1. L’objectif principal de l’apprentissage du calcul réfléchi est de développer chez les élèves la capacité à se positionner comme stratège face à une tâche de calcul. (diapo 8) 2. Les faits numériques. Pour organiser sa réponse, l’élève doit disposer d’acquis notionnels et/ou pratiques mémorisés (ou écrits dans un document de référence) sur des faits numériques et des procédures. Les procédures de calcul s’appuient elles-mêmes sur la connaissance d’un certain nombre de faits numériques. Les faits numériques sont des ressources pratiques et économiques qu’il faut pouvoir mobiliser à volonté : tables d’additions et de multiplication, compléments à la dizaine et à la centaine, propriétés des nombres, sens du signe égal et des parenthèses, valeur de position des chiffres dans le nombre, écritures mathématiques et schématiques, etc. 3. Trois sortes de faits numériques : Les propriétés implicites des opérations, Les propriétés explicites des nombres, Les conventions mathématiques Les propriétés des opérations (diapo 9 à 12) Les propriétés des nombres (diapo 13) Les différents systèmes de représentation symboliques (écritures littérales et chiffrés des nombres, etc.) ou iconiques (les schémas, arbres, diagrammes, etc.) (diapo 14 et 15)

Repères de progressivité Au cycle 2 : les élèves établissent puis doivent progressivement mémoriser : des faits numériques : décompositions/recompositions additives des début de cycle (dont les tables d’addition), multiplicatives dans la suite du cycle (dont les tables de multiplication) ; des procédures de calculs élémentaires. Ils s’appuient sur ces connaissances pour développer des procédures de calcul adaptées aux nombres en jeu pour les additions au CP, pour les soustractions et les multiplications au CE1 ainsi que pour obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne par un nombre a 1 chiffre et par des nombres comme 10, 25, 50, 100 en CE2. Au cycle 3 : la pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures a mobiliser se complexifient.

Programmes calcul cycle 2 (1/2) Connaissances et compétences Exemples d’activités et de ressources Mémoriser des faits numériques et des procédures. Tables de l’addition et de la multiplication. Décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments a la dizaine et a la centaine supérieure, multiplication par une puissance de 10, doubles et moities de nombres d’usage courant, etc. Répondre aux questions : 7 × 4 = ? ; 28 = 7 × ? ; 28 = 4 × ?, etc. Utiliser ses connaissances sur la numération : ≪ 24×10, c’est 24 dizaines, c’est 240 ≫. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Addition, soustraction, multiplication, division. Propriétés implicites des opérations : 2+9, c’est pareil que 9+2 3×5×2, c’est pareil que 3×10. Propriétés de la numération : « 50+80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 13 dizaines, c’est 130 » « 4×60, c’est 4×6 dizaines, c’est 24 dizaines, c’est 240 ». Traiter des calculs relevant des quatre opérations, expliciter les procédures utilisées et comparer leur efficacité. Pour calculer, estimer ou vérifier un résultat, utiliser divers supports ou instruments : les doigts ou le corps, bouliers ou abaques, ficelle à nœuds, cailloux ou jetons, monnaie fictive, double règle graduée, calculette, etc.

Programmes calcul cycle 2 (2/2) Connaissances et compétences Exemples d’activités et de ressources Calcul mental Calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calculer mentalement : sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie ; sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées. Résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques simples. Utiliser les propriétés des opérations, y compris celles du type 5×12 = 5×10 + 5×2. Calcul en ligne Calculer en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes. Exemples de stratégies de calcul en ligne : 5×36 = 5×2×18 = 10×18 = 180 5×36 = 150 + 30 = 180 5×36u = 15d + 30u = 15d + 3d = 180u Utiliser des écritures en ligne du type 21 = 4×5 + 1 pour trouver le quotient et le reste de la division de 21 par 4 (ou par 5).

Programmes calcul cycle 3 Connaissances et compétences Exemples d’activités et de ressources Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Addition, soustraction, multiplication, division. Propriétés des opérations : 2+9 = 9+2 3×5×2 = 3×10 5×12 = 5×10 + 5×2 Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs. Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant. Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10). Exemples de faits et procédures numériques : multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1000 un nombre décimal, rechercher le complément à l’unité, à la dizaine, à la centaine supérieure, encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs, trouver un quotient, un reste, »»multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5… En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ainsi que l’usage des parenthèses. Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples. Règles d’usage des parenthèses.

Stratégie en calcul réfléchi choix d’une réponse adaptée à un contexte (numérique), par économie cognitive. Les procédures, les faits numériques et les modes de représentation sont choisis en fonction des valeurs en jeu parce qu’ils contribuent à construire la réponse la moins difficile à mettre en œuvre dans la situation en jeu. Choisir :  réfléchir (prendre de l’information, la traiter, organiser la réponse, rejeter ce qui n’est pas pertinent)  Par stratégie, on entend la capacité à choisir la procédure (mais également le système de représentation, donc de traitement – cf. plus tard) les plus adaptées au contexte numérique du calcul à faire. Adapté signifie que la procédure choisie est la réponse la moins difficile à mettre en jeu dans la situation en jeu. C’est une question d’économie cognitive. La première stratégie, par exemple, consiste à décomposer un calcul difficile en une série de calculs faciles dont les résultats seront faciles à recomposer en résultat final. Cette notion de stratégie se trouve dans les programmes officiels quand ils évoquent le calcul, que ce soit en cycle 2 qu’en cycle 3. Ainsi, dès le cycle 2, il est mentionné que les axes d’étude des nombres et des calculs sont : La résolution de problèmes contextualisés, L’étude de relations internes aux nombres, L’étude des différentes relations orales et écrites, L’appropriation de stratégies de calcul. Dans les compétences à travailler, les programmes citent à propos du calcul : « calculer […] en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu. » Être stratège (en calcul) c’est être capable de choisir donc de mobiliser sa pensée pour réfléchir (analyser et identifier la situation à partir des connaissances mathématiques disponibles, organiser une réponse opératoire accessible, et rejeter les procédures qui ne sont pas pertinentes, etc.). Le calcul réfléchi, par l’enrichissement cognitif qu’il implique, s’oppose donc au calcul posé (et instrumenté) qui est l’application mécanique d’un algorithme général, utilisable pour toutes les situations numériques. Les programmes commence par « la résolution de problème est au centre de l’activité mathématique […] développant la capacité à chercher, raisonner, communiquer. Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. » Or calculer sans recourir à une calculatrice ou à une technique opératoire pose un problème et le calcul réfléchi provoque des questionnements mathématiques ce qui permet d’aborder de nouvelles facettes de l’univers numérique comme de consolider les acquis. Cependant, c’est plutôt au cycle 3 que les programmes souligne l’importance du calcul mental dans l’exploration des nombres et des propriétés des opérations.

Stratégie en calcul réfléchi  réfléchir : chacun organise la réponse selon les acquis qui lui sont le plus facilement disponibles et les valeurs numériques en jeu. 26×12 = 12×26 = 10×26+2×26 = 260+52 = 312 26×12 = 26×4×3 = 104×3 = 3x100+3x4 = 312 26×12 = 20×12+6×12 = 240+72 = 300+12 = 312 26×12 = 25×12+12 = 25×4×3+12 = 100x3+12 = 312 26×12 = 26×2×6 = 52×2×3 = 104×3 = (100+4)x3 = 312 26×12 = 2×13×2×2×3 = 2×2×2×39 = 2×2×78 = 2×156 (retour) Il n’y a pas de procédures expertes en calcul mental et en ligne, mais des expertises personnelles contruites et adaptables.

Commutativité a*b = b*a De l’addition 3+57 = 57+3 De la multiplication 8x4 = 4x8 

Associativité (a*b)*c = a*(b*c) De l’addition 7+5 = 2+5+5 = 2+10 De la multiplication 24x5 =12x2x5 = 12x10  7 5 + 2 10 12 24 5 12 A B On met en œuvre plusieurs systèmes symboliques : l’écriture arithmétique, l’arbre, les constellations et le schéma d’un pavage. La maîtrise des formes de représentation de la même procédure garantit la compréhension de cette procédure. La maîtrise signifie non seulement la capacité à produire chacune des formes mais également la capacité à retrouver et mettre en correspondance les mêmes unités de signification dans chacune des formes (les objets comme les nombres et les transformations comme les additions et multiplications ainsi que les décompositions et recompositions). Ce jeu sur les signifiants permet d’appréhender les propriétés en jeu à savoir les décompositions, recompositions des nombres ainsi que l’associativité et la commutativité, voire, le cas échéant la distributivité (cf. prochaine diapo).

Distributivité (1/2) De la multiplication sur l’addition et la soustraction 24x36 = (20+4)x(30+6) = (20x30)+(20x6)+(4x30)+(4x6)  24x36 36 24 20x30 20x6 4x30 4x6 30 6 20 4 24 x 36 20 4 30 6 20x30 20x6 4x30 4x6

Distributivité (2/2) La distributivité de la division n’est vraie que dans un sens car on ne décompose que le dividende (ici en deux multiples de 8) 536:8 = (480+65):8 = (480:8)+(56:8)  Ce type de situation permet de donner du sens à la notion de multiple. Dans cette situation, la notion de multiple présente pour l’élève le statut d’outil qui permet de calculer plus facilement. Le calcul en ligne est l’occasion d’aborder de façon pratique de nombreuses notions mathématiques liées aux propriétés des nombres.

La variation simultanée dans la soustraction On ne change pas la valeur d’une différence si on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux termes de l’opération 43-19 = (43+1)-(19+1) = 44-20 43-22 = (43-2)-(22-2) = 41-20 (retour)

Décomposition/recomposition Formes : additive ou multiplicative Nature : Enumérative : 7 = 6+1 = 5+2 = 4+3 24 = 1x24 = 2x12 = 3x8 = 4x6 = 6x4 = 8x3 = etc. Stratégique : compléments à un nombre : 142-86 = 4+10+42 = 56 Multiples d’un diviseur : 228:3 = (210+18):3 = (210:3)+(18:3) Recours à l’associativité : 5x36 = 5x4x9 = 20x9 En unités de numération (ou sous unité : 5) 147+24 = 100+40+7+20+4 = 100+40+20+7+4=100+60+11 7+6 = 5+2+5+1 = 5+5+2+1 = 10+3 (Retour) 86 90 100 142 (+4) (+10) (+42) La décomposition/recomposition donne du sens au signe égal : équivalence numérique entre les deux écritures qui encadrent le signe. Ici, le recours à deux systèmes symboliques (les écritures arithmétiques et la droite numérique) permet de traiter la situation en parallèle dans deux cadres différents de représentation. Cette coordination des deux systèmes favorise l’apprentissage en jeu.

Les systèmes de représentation (1/3) Les objets mathématiques sont abstraits on les appréhende à travers des représentations Plusieurs systèmes symboliques concourent à la représentation du même objet mathématique V 5 6-1 10/2 cinq 101(base 2) La connaissance d’un objet mathématique implique la capacité à le représenter dans différents systèmes symboliques.  On met en œuvre plusieurs systèmes symboliques : l’écriture arithmétique, l’arbre, les constellations et le schéma d’un pavage. La maîtrise des formes de représentation de la même procédure garantit la compréhension de cette procédure. La maîtrise signifie non seulement la capacité à produire chacune des formes mais également la capacité à retrouver et mettre en correspondance les mêmes unités de signification dans chacune des formes (les objets comme les nombres et les transformations comme les additions et multiplications ainsi que les décompositions et recompositions). Ce jeu sur les signifiants permet d’appréhender les propriétés en jeu à savoir les décompositions, recompositions des nombres ainsi que l’associativité et la commutativité, voire, le cas échéant la distributivité (cf. prochaine diapo).

Les systèmes de représentation (2/3) Les représentation des objets mathématiques sont également des support de calcul Le calcul est une transformation (en préservant l’équivalence numérique) en étapes (par substitution) 5+7 = 2+5+5 = 2+10 Certaines systèmes de représentation permettent des calculs plus faciles : 0,1+0,1 est plus facile à calculer que 1/10+1/10  7 5 + 2 10 12 En calcul en ligne, les étapes écrites utiles pour l’élève peuvent, dans un premier temps, se présenter sous différentes formes : calculs séparés, arbres de calcul, écritures utilisant des mots ou des flèches, ou tout autre écrit qui accompagne la démarche de l’élève ; progressivement, en fin de cycle 3, ces étapes s’organisent pour devenir un calcul écrit en ligne en relation avec le vocabulaire utilisé.

Les systèmes de représentation (3/3) La pratique des écrits transitoires et les conventions d’écriture Un élève écrit : 523 ‒ 20 = 503 ‒ 40 = 463 ‒ 3 = 460 ‒ 4 = 456 Quelle tolérance accorder à ces erreurs de syntaxe mathématique ? (retour) Les étapes de calcul écrites par les élèves doivent être conçues comme un support à la pensée, comme des écrits transitoires qui peuvent ne pas respecter tous les codes de rédaction mathématique, en particulier en ce qui concerne l’utilisation du signe « = » et des parenthèses. Comme pour la production d’écrits, un seuil de tolérance doit être accordé à tous les élèves. Pour distinguer ces étapes de calcul des écrits institutionnels, le professeur pourra faire travailler les élèves sur un support dédié (cahier de recherche, feuilles de couleur, etc.). L’explicitation orale permettra ensuite aux élèves de montrer comment ils comprennent ces étapes écrites ; le professeur pourra alors, si cela se révèle être le moment opportun, aider les élèves à les faire évoluer pour qu’elles deviennent mathématiquement correctes, mais le respect en autonomie des codes par les élèves n’est pas un exigible du cycle 3. Les programmes signalent que « les écrits sont d’abord des représentations produites en situation par les élèves eux-mêmes qui évoluent progressivement à l’aide du professeur vers de formes conventionnelles (donc institutionnalisées et partagées). L’introduction et l’utilisation de symboles mathématiques sont réalisées au fur et à mesure qu’ils prennent du sens dans les situations d’action, en relation avec le vocabulaire utilisé. »

Ecrits d’institutionnalisation (Retour)