CHAPITRE 4 Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre

Objectifs: - Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un triangle rectangle. - Utiliser la calculatrice pour déterminer un angle aigu ou le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu. - Calculer, dans un triangle rectangle, un angle ou la longueur d’un côté en utilisant la trigonométrie aaaaaa Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre. - Construire un polygone régulier.

Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure). On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle. Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules de trigonométrie. Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche indépendante des mathématiques. Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.

Vocabulaire du triangle rectangle Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir nommer les côtés d’un triangle rectangle. Ici on appelle  la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle rectangle en C. B Hypoténuse (c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit.) Côté opposé à   A C Côté adjacent à 

II. Trois formules trigonométriques Côté adjacent à   Hypoténuse Côté opposé à   Hypoténuse Côté adjacent à  Côté opposé à  

Remarques : - sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente » -Pour s’aider à retenir ces trois formules, on peut retenir le « célèbre » mot Soh Cah Toa

III. Applications Calcul de la longueur d’un côté connaissant un angle et un autre côté 41° A C Calculer la longueur de AB. Hyp. Méthode: Côt. Adj. ? 1. On nomme les côtés du triangle. 23 cm 2. On repère le côté que l’on cherche et le côté que l’on connaît, en les soulignant par exemple. B Côt. Opp. 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. Comme ABC est rectangle en C, on a:

Calculer la longueur de AB 41° A C Calculer la longueur de AB Hyp. Méthode: ? 1. On nomme les côtés du triangle Côt. Adj. 2. On repère le côté que l’on cherche et le côté que l’on connaît, en les soulignant par exemple. 23 cm Côt. Opp. B 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. Comme ABC est rectangle en C, on a: 4. On remplace dans la formule tout ce que l’on connaît. 5. On fait un produit en croix et on calcule AB

2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longueur connaissant la longueur de deux côtés Calculer l’angle BÂC. ? Hyp. Méthode: 1. On nomme les côtés du triangle. 26 cm 2. On repère les deux côtés que l’on connaît, en les soulignant. Côt. Adj. 10 cm B C 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. Côt. Opp. Comme ABC est rectangle en B, on a:

Comme ABC est rectangle en B, on a: Calculer l’angle BÂC. A Méthode: Hyp. ? 1. On nomme les côtés du triangle. 26 cm 2. On repère les deux côtés que l’on connaît, en les soulignant. Côt. Adj. 10 cm 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. B C Côt. Opp. Comme ABC est rectangle en B, on a: 4. On remplace dans la formule tout ce que l’on connaît. 5. Avec la calculette, on tape: Arctan (10/26)=

IV. Angles inscrits- angles au centre 1) Introduction et définitions est un angle au centre. , et sont des angles inscrits. C’est un angle dont le sommet est le centre du cercle. C’est un angle dont le sommet est sur le cercle.

2) Propriétés En mesurant les angles, on constate que : mesurent 46° et mesure 92° Propriété 1 La mesure d’un angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. Propriété 2 Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

V. Polygones réguliers Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle dont tous les côtés ont la même longueur. O 120° 90° 72° 45° 60° Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier Remarque: L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la formule suivante: 360° angle au centre = nb côtés polygone

Exemple: Construction d'un décagone régulier Exemple: Construction d'un décagone régulier inscrit dans un cercle à la règle, au compas et au rapporteur. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation ABCDEFGHIJ est un décagone régulier inscrit dans le cercle de centre O