Lois de comportement A tout système de forces extérieures appliquées à un corps, correspond une distribution des contraintes à l’intérieur de ce corps. Ces forces extérieures et ces contraintes sont liées par des équations d’équilibre qui sont satisfaites en tout point à l’intérieur du corps. Or, dans l’état plan de contraintes, nous avons deux relations qui expriment l’état d’équilibre, alors que nos inconnus sont au nombre de trois (x y et xy)

On dispose déjà de l’équation de compatibilité On dispose déjà de l’équation de compatibilité. Mais cette équation porte sur les déformations et non pas sur les contraintes. Pour obtenir l’équation recherchée, il faut donc pouvoir relier les déformations aux contraintes, càd connaître la loi de comportement du matériau constituant le corps considéré. La plus simple des lois de comportement est la loi de Hooke. Dans le cas d’une éprouvette soumise à une traction, le comportement élastique linéaire s’exprime par la loi de Hooke, établie expérimentalement (l’effort étant exercé suivant Oz):

Les déformations transversales s’expriment par les relations : E est le module de Young (ou module d’élasticité longitudinale) du corps, ν est son coefficient de Poisson.

Etat plan de contrainte d’un modèle élastique

Si x agit seule, la dilatation Si y agit seule, la dilatation de la même manière on détermine Quand les deux contraintes agissent en même temps on aura :

Si x et y ne sont pas principales (xy # 0), le module d’élasticité transversale ou module de glissement

Déformabilité des roches

Influence de la pression de confinement 3 sur la rupture fragile par cisaillement

Passage du comportement fragile au comportement ductile avec durcissement

Rupture des roches Traction directe

Traction indirecte (essai brésilien)

Rupture des roches en compression Schéma théorique de rupture en compression simple

Soit ab la trace du plan de rupture ; bb’, perpendiculaire à ab’ est pris égal à 1 ; Soit θ l’angle entre la direction de s1 et le plan de fracture. On aura : Pour une valeur de θ donnée, on peut donc calculer n et τ. On peut admettre que les fractures devraient se produire pour une valeur maximale de τ c'est-à-dire pour un angle θ=45°.

Avec une pression de confinement 3 Dans ce cas, le cisaillement est également maximum pour θ=45° et les fractures devraient se produire suivant un angle de 45° par rapport aux directions des contraintes principales.

Au laboratoire, on s’aperçoit, lors des essais de compression, que les points de rupture ne sont pas situés sur M mais sur F et que θ est toujours inférieur à 45°. Ceci est dû à la résistance au cisaillement propre à la roche considérée. Cette résistance se traduit pour chaque roche par un angle de frottement interne

Argiile angle est nul

Courbe intrinsèque d’un sable Pour le sable la cohesion est nul Courbe intrinsèque d’un sable

Courbe intrinsèque d’une roche

Influence de la pression interstitielle Les roches dans l’écorce terrestre sont très souvent saturées d’eau. Cette eau influence de façon prépondérante leur comportement, en particulier à la rupture. La présence d’eau dans une roche a pour effet de faciliter sa rupture.

Rôle de la pression interstitielle sur la rupture d’une roche