Test d'adéquation de Lois: Modèle WEIBULL W(; ;  )

Principe Il faut dire comment on construire la feuille!!!!!!

Principe Comme un modèle de Weibull. Ici la linéarisation est un peu différente, car la fonction de répartition est facilement exploitable analytiquement, donc on cherche à la mettre sous la forme de Y=aX+b Comme la fonction de répartition est entre 0 (0.001) et 1 (0.999), on calculera les valeurs de Y qui correspondent et l’axe vertical sera linéaire en Y. Y=f(Fx ) 0.999 0.001

Principe FX 0.999 0.001 - 6.9 1.93 - 2 - 4 FX 0.999 0.001 - 6.9 1.93 FX 0.999 0.001 - 6.9 1.93 - 2 - 4 0.632 0.018

Principe b FX 0.999 0.001 0.632 0.018 Le "test" graphique permet d'établir un modèle de Weibull. Afin d'avoir ce modèle, il faut déterminer "a & b" Il fait maintenant placer le 0, et on peut voir que l’axe horizontal passant par ce point correspond aux valeur de eta, que l’on peut lire directement sur l’axe des X. Reste à déterminer la pente, pour cela on crée un système d’axe interne en fonction de l’axe verticale passant par le point eta=0.37 et le point eta=1. Ce qui est intéressant dans ce cas, cette pente permet de déterminer la valeur de beta. L'ordonnée à l'origine est déterminé, il faut déterminer la pente

Principe a FX Il faut également déterminer le décalage 0.999 0.001 0.632 0.018 - 6.9 1.93 - 2 - 4 6.9 - 1.93 2 4 0.37 1 Il faut également déterminer le décalage

Principe d 0,02 0,04 0,06 0,08 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 x f(x) L(X) L(X-d) I suffit de chercher la limite de la fonction de répartition. Donc l’intersection de cette fonction (ou la droite obtenue) avec l’axe horizontal permet d’estimer le décalage. Ceci correspond au temps où la fonction de répartition n’existe pas. Donc s’il s’agit de la durée de vie, cela signifie que le système ne tombera pas en panne avant cette date.

Application Loi de Weibull Estimation Ponctuelle  Ord Ti F0.5 5580 0.067 5920 0.162 6000 0.259 6300 0.355 6460 0.452 6820 0.548 7000 0.645 7500 0.741 7660 0.838 8740 0.933 7000 6820 7500 6300 6460 7660 5580 6000 8740 5920 5580 5920 6000 6300 6460 6820 7000 7500 7660 8740 Il faut ordonner l’échantillon ……

W( ;  ;  )  = 5300 Application Loi de Weibull Estimation Ponctuelle W( ;  ;  ) On trace les points dans le papier fonctionnel de Weibull. S’il y a une courbure (vers les hautes valeurs) cela signifie qu’il y a un décalage. Donc il faut l’estimer. Attention si on trouve ici 200 cycles, cela signifie qu’il n’y pas de décalage. Et on retrace les points sans ce décalage pour avoir le modèle.  = 5300 X

W( ;  ;  )  = 1700 Ti Ti- F0.5 Application Loi de Weibull Estimation Ponctuelle W( ;  ;  ) Ti Ti- F0.5 5580 280 0.067 5920 420 0.162 6000 700 0.259 6300 1000 0.355 6460 1160 0.452 6820 1520 0.548 7000 1700 0.645 7500 2200 0.741 7660 2360 0.838 8740 3440 0.933 X  = 1700 X

W( ;  ;  )  = 1.5 Application Loi de Weibull Estimation Ponctuelle On détermine eta (ordonnée à l’origine) et beta (la pente)  = 1.5 X

Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Ti- F F0.5 F1- Application Loi de Weibull Estimation par intervalle de confiance W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% 1-2 = 0.80 Ti- F F0.5 F1- 280 0.011 0.067 0.206 420 0.162 700 0.259 1000 0.355 1160 0.452 1520 0.548 1700 0.645 2200 0.741 2360 0.838 3440 0.794 0.933 0.989 h min h max X X

W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Application Loi de Weibull Estimation par intervalle de confiance W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Pr( 0.7 <  < 2.3) = 80% X  min X  max Et on fait une estimation par intervalle de confiance. Attention, pas d’intervalle de confiance pour le décalage.

T pour R = 0.7 F = 1 - R W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) T = T’ +  Application Loi de Weibull Exploitation du modèle W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) T pour R = 0.7 Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Pr( 0.7 <  < 2.3) = 80% F = 1 - R T = T’ +  T’ min T’ max

W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) R pour T = 6000 T’ = T-  R = 1 – F Application Loi de Weibull Exploitation du modèle W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) R pour T = 6000 Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Pr( 0.7 <  < 2.3) = 80% F max T’ = T-  F R = 1 – F Rmax = 1- Fmin Rmin = 1- Fmax F min T’

Dans un 16 Pr(Tmin < 5400) = ? Application Loi de Weibull Exploitation du modèle Dans un 16 Pr(Tmin < 5400) = ? W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Pr( 0.7 <  < 2.3) = 80%

W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Dans un 16 Pr(Tmax  9000) = ? Application Loi de Weibull Exploitation du modèle Dans un 16 Pr(Tmax  9000) = ? W(1.5 ; 1700 ; 5300 ) Pr( 1000 <  < 2700 ) = 80% Pr( 0.7 <  < 2.3) = 80%

Estimation par rangs médians corrigés. Application Loi de Weibull Cas Partieuliers (1) On envisage d’étudier la défaillance par usure d’un composant. Un échantillon de taille 10 est testé, pendant le test on constate le comportement suivant: Etat Temps (h) Usé 84 Cassé 100 40 Fonct. 70 200 21 Brulé 33 110 150 66 Que faire dans le cas où certains composants sont usés (Défaillants D), et d’autres qui ne sont pas usés (Suspendus S) Estimation par rangs médians corrigés.

Application Loi de Weibull Cas Partieuliers (1) T (h) Etat 1 21 D 2 33 S 3 40 4 66 5 70 6 84 7 100 8 110 9 150 10 200 1 6.73 10+1-1=10 10+1-2=9 1.1 1+1.1=2.1 17.3 2.1+1.1=3.2 27.88 10+1-3.2=7.8 10+1-5=6 1.3 4.5 40.38 10+1-4.5=6.5 10+1-8=3 2.16 6.66 61.15 8.82 81.92

Application Loi de Weibull Cas Partieuliers (2) On envisage d’étudier la défaillance d’un composant. Un échantillon de taille 10 est testé, à la fin du temps prévu pour le test on constate le comportement suivant: Fonct. 218 203 189 175 160 145 125 97 T (h) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 i 0.3558 0.4519 0.5481 0.6442 0.7404 0.2596 0.1635 0.0673

Application Loi de Weibull Cas Partieuliers (2) n = 8 W(4 ; 180 ; 0 ) n = 10 W(3.65 ; 200 ; 0 )