M3 - STATIQUE DU SOLIDE

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°1 :  Calcul du moment : force x bras de levier Expression littéral : MO(F) = ± F x d Application numérique : MO(F) = - (100 N x 0,13 m) = -13 N.m y X  Calcul du moment : produit vectoriel Expression littéral : MO(F) = OA ^ F Application numérique : MO(F) = OA ^ F 0,13 0 ^ -100 = -13 N.m

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°2 :  Représenter les actions de contact A 2/1 (Fig 1) et B 1/2 (Fig 2) Action normale au contact Plan tangent A 2/1 B 1/2 A Fig. 1 10° B X y Plan tangent Fig. 2 Echelle : 1mm 5N A 2/1 = 100 N B 1/2 = 160 N

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°2 :  Modéliser sous forme de torseur les actions de l’exercice 2 * Dans le repère local (A,XYZ) associé au contact X Y {TA,2/1}= YA A XYZ Avec YA = A A A 2/1 * Dans le repère général (O,xyz) (le plus courant) X+ 100° {TA,2/1}= xA yA A xyz 10° x y xA = A cos 100° = -17,4N yA = A sin 100° = 98,5N avec Fig. 1 Echelle : 1mm 5N A 2/1 = 100 N

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°2 :  Modéliser sous forme de torseur les actions de l’exercice 2 {TB,1/2}= xB B xyz xB = B cos 180° = - B = - 160N avec B 1/2 B x y Fig. 2 Echelle : 1mm 5N B 1/2 = 160 N

Ponctuelle de normale X STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°3 :  Compléter la relation Torseur – Mobilités – Liaison {TA,1/2}= Ponctuelle de normale X X Z L M N TY Glissière d’axe Y {TA,1/2}= Y L N TX TZ RY Appui plan de normale Y {TA,1/2}= X TY TZ RX RY RZ

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°4 :  Ecrire le torseur de l’action mécanique en A de 1 sur 2 Liaison Pivot d’axe A z A 1 2 Rz ddl A xyz XA YA ZA LA MA Torseur {TA,1/2}= A xyz

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°5 :    Modéliser les actions mécaniques du poids P et du vérin 4 Données : Diamètre piston 4 : 30 mm Pression utilisée : 50 bars G 4/5 ML(P) -500daN P 70° {TL, P } = L xyz -500 MG(G4/5) XG = G cos70° YG = G sin70° G 4/5 {TG, 4/5 } = G xyz 121daN 332daN Avec G = p . S = p . P R2 = 50bars . P (1,5cm)2 = 353 daN

I – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques Exercice n°6 :    Modéliser les actions mécaniques en B de 2/1 , en O de 4/1 et en C de 3/1. Données : Raideur : k = 30 daN/mm longueur libre lo = 10 mm ; EC = 20 mm * {TB, 2/1 }= B xyz XB YB B 2/1 X+ 150° XB = B cos 150° YB = B sin 150° avec LO MO * {TO, 4/1 }= O xyz XO YO ZO C 3/1 Ddl : Rz avec * {TC, 3/1 }= C xyz XC XC = C cos 180° = - C = -k .DL = -30 .(20-10)= -300daN avec

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS Exercice n°7 :  Determiner graphiquement les actions en A, C et D puis vous vérifierez analytiquement vos résultats (P=2000daN) 1350 800 30° A D C 1 3 2 160 P (20000N) y x

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 2 1 3 P P(Cz) P(Az) P (Dz) (20000N) 1°/ Etablir le graphe des actions mécaniques :   1350 800 30° A D C 1 3 2 160 P (20000N) y x 2 1 3 P P(Cz) P(Az) P (Dz) (20000N)

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 2 1 3 P P(Cz) P(Az) P (Dz) (20000N)   2°/ Ordonnancer les isolements : Méthode : -On n’isole jamais le bâti -On isole les systèmes à deux forces On isole les systèmes à trois forces en partant de l’effort connu D1/3 C2/3 2 1 3 P P(Cz) P(Az) P (Dz) (20000N) C3/2 A1/2

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS ? D 1/3 C 2/3 norme Direction + sens   3°/ Étude de l’équilibre du tirant 3: -On isole le tirant 3 : -On fait le bilan des actions extérieures à 3 : ? D 1/3 C 2/3 norme Direction + sens Forces -On exprime le Principe Fondamental de la statique à deux forces :    Le tirant 3 soumis à 2 forces est en équilibre ssi : => Les 2 forces ont la même direction (ou support) => Elles sont de sens opposés (traction ou compression) => Elles sont de norme égale -On en conclut que la direction des forces est la droite CD

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS ? DC C 3/2 A 1/2 20000 N P norme   4°/ Étude de l’équilibre de la potence 2: -On isole la potence 2 : -On fait le bilan des actions extérieures à 2 : ? DC C 3/2 A 1/2 20000 N P norme Direction + sens Forces -On exprime le Principe Fondamental de la statique à trois forces :    La potence 2 soumis à 3 forces est en équilibre ssi : => Elles sont // ou concourantes en un point (I). (car ΣMoment en I = 0)  => La somme des forces est égale à zéro. (le dynamique est fermé) On constate dans le tableau que les forces sont concourantes

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS -On donne les résultats : C 3/2 (22200N) Direction de C 3/2 A 1/2 (21200N) Direction de A 1/2 1350 800 30° A D C 1 3 2 160 P (20000N) y x Direction de P

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS {T(2)/(2)}A = {0} *{TG, P } =   Vérification analytique de l’équilibre de 2 : -On isole 2 : -Bilan des actions extérieures à 2 : *{TG, P } = G xyz -20000 *{TC, 3/2 } = C xyz Xc Yc avec XC = C3/2 cos150° YC = C3/2 sin 150° Direction connue Sens et norme inconnus *{TA, 1/2 } = A xyz XA YA avec ddl: Rz =>NA=0 et plan sym(xy) =>ZA,LA,MA=0 On constate dans le bilan 3 inconnues : C3/2, XA et YA On peut résoudre {T(2)/(2)}A = {0} -On exprime le PFS :

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS *{TG, P } = *{TC, 3/2 } = *{TA, 1/2 } = -Changement de centre de réduction des torseurs en A : *{TG, P } = -27.106 A xyz -20000 avec MA = MG + AG ^ P + - 20000 = 1350 ^ 27 .1 6 1214.C3/2 A xyz Xc Yc *{TC, 3/2 } = avec XC = C3/2 cos150° YC = C3/2 sin 150° -Équations d’équilibre : (1) : XA + C3/2 cos 150° = 0 (2) : YA + C3/2 sin 150° - 20000 = 0 (3) : 1214 . C3/2 – 27.106 = 0 avec MA = MC + AC ^ C3/2 + C 3/2 cos150 ° sin 150° = 2150 160 ^ 1214 . C - Résultats : (3) : C 3/2 = 22249 N (1) : XA = 19268 N (2) : YA = 8875 N A1/2=21214N (Utiliser Pythagore) *{TA, 1/2 } = A xyz XA YA