Collège Pierre-Auguste Renoir Ferrières-en-Gâtinais La course à 20 Collège Pierre-Auguste Renoir Ferrières-en-Gâtinais

Règles du jeu Imaginez un cornet à l’intérieur duquel se trouvent vingt frites : dix-neuf sont bien cuites et une est trop cuite. Deux personnes doivent à tour de rôle manger une ou deux frites. Le but du jeu, mis à part le fait de manger des frites, est de laisser la dernière frite trop cuite à son adversaire.

Le cornet de frites

Jouons !

Comment gagner à coup sûr ? Pour gagner à coup sûr, nous avons remarqué qu’il faut absolument manger l’avant-dernière frite, c’est à dire la dix-neuvième.

Ensuite, nous avons remarqué que pour être sûr de manger la dix-neuvième frite, il fallait manger la seizième, c’est-à-dire trois frites avant. En effet, en mangeant la seizième, si notre adversaire en mange ensuite une, nous en mangeons deux et s’il en mange deux, nous en mangeons une.

Ainsi de suite, de trois en trois, nous pouvons remonter jusqu’à la première frite qui est gagnante.

Conclusion Pour gagner à coup sûr, il faut donc commencer à manger et ne manger qu’une frite. Ensuite, il suffit de s’adapter à ce que fait l’adversaire. S’il mange une frite, nous en mangeons deux et s’il en mange deux, nous en mangeons une. Il faut donc compléter pour que le total entre l’adversaire et nous fasse trois.

Explications mathématiques En revenant à chaque fois trois frites en arrière, nous formons ainsi des paquets de trois frites. Pourquoi trois ? Parce que c’est un de plus que deux, qui est le nombre maximal de frites que l’on peut manger à chaque tour. De ce fait, nous laissons à chaque fois la frite gagnante hors de portée de notre adversaire.

Nous effectuons en fait une division euclidienne, celle de 19 par 3. Pourquoi 19 et pas 20 ? Car la dix-neuvième frite est la frite gagnante. 19 = 3 x 6 + 1 Nous pouvons voir que le reste de cette division euclidienne est 1. Il faut donc bien commencer par manger une frite pour gagner.

Et si les règles changeaient ? Changeons le nombre de frites que l’on peut manger à chaque tour. Désormais, il est possible de manger une, deux ou trois frites. La frite gagnante est toujours la dix-neuvième.

Pour être sûr de manger cette dix-neuvième frite, il faut désormais manger la quinzième, c’est-à-dire quatre frites avant (et oui, une de plus que trois, le nombre maximal).

En revenant à chaque fois de quatre frites en arrière, nous arrivons jusqu’à la troisième frite qui est gagnante.

Cette fois-ci, pour gagner à coup sûr, il faut une nouvelle fois débuter mais en mangeant trois frites. Ensuite, à chaque fois que notre adversaire joue, il faut compléter pour que le total entre lui et nous fasse quatre. On retrouve ce résultat en effectuant la division euclidienne de 19 par 4. 19 = 4 x 4 + 3 Le reste est 3, il faut donc bien débuter en mangeant trois frites et ensuite s’adapter à ce que fait l’adversaire.

Conclusion : Pour être sûr de gagner avec un cornet de vingt frites, peu importe le nombre maximal de frites que l’on peut manger, il n’y a donc qu’un seul calcul assez simple à effectuer : une division euclidienne. On divise 19 par le nombre maximal de frites que l’on peut manger augmenté de 1. Si le reste est 0, on laisse l’adversaire débuter. Sinon, il faut débuter en mangeant le nombre de frites correspondant au reste de la division euclidienne.

Ensuite, il suffit de s’adapter à ce que fait l’adversaire Ensuite, il suffit de s’adapter à ce que fait l’adversaire. Il faut que le total entre lui et nous corresponde au nombre maximal de frites que l’on peut manger augmenté de 1.

Et si une autre règle changeait? Changeons désormais la taille du cornet de frites et passons à un cornet de vingt-cinq frites et restons avec une, deux ou trois frites à chaque tour. La frite gagnante est alors la vingt-quatrième.

Une division euclidienne permet de trouver la stratégie gagnante, celle de 24 par 4. Pourquoi 4 ? Car un de plus que 3. 24 = 4 x 6 + 0 Le reste est 0, il faut donc laisser l’adversaire débuter et ensuite compléter ce qu’il mange pour que cela fasse quatre frites avec celles que l’on va manger.

Cas général Imaginons un cornet de frites à l’intérieur duquel il y a un nombre a de frites. Nous pouvons manger à chaque tour un nombre maximal de n frites. Comment gagner à coup sûr ?

La frite gagnante est la (a-1)ème Il suffit alors d’effectuer une division euclidienne, celle de a – 1 par n + 1, le nombre maximal de frite que l’on peut manger, augmenté de 1. Si le reste est 0, on laisse l’adversaire débuter, sinon on commence en mangeant le nombre de frites correspondant au reste de la division. Ensuite, il suffit de s’adapter à ce que fait l’adversaire. Il faut que le total entre lui et nous corresponde au nombre n+1. Et là, on va gagner à coup sûr, à condition d’avoir le choix de commencer à manger ou pas.

Qui veut jouer ?

32 frites avec trois frites au maximum

62 frites avec quatre frites au maximum