Démonstration et aires

Triangles de même aire Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire. A ' Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire.

Triangles de même aire M est un point du segment [BC]. Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC].

Triangles de même aire Les triangles MBC et ABC ont la même aire. La droite d est parallèle à la droite (BC). Les triangles MBC et ABC ont la même aire.

Triangles de même aire Les triangles MBI et ACI ont la même aire. La droite d est parallèle à la droite (BC). Les triangles MBI et ACI ont la même aire.

Lemme des proportions Soient ABC et AB’C’ deux triangles ayant en commun le sommet A et dont les côtés [BC] et [B’C’] sont portés par la même droite. Le rapport des aires a(ABC) et a(AB’C’) est égal au rapport des longueurs BC et B’C’.

Lemme du chevron Soit ABC un triangle et M un point du plan, distinct de A. On suppose que la droite (AM) coupe la droite (BC) en A’. Alors on a :

Théorème de Thalès Soit ABC un triangle. Soient B’ un point du segment [AB] et C’ un point du segment [AC]. On suppose (B’C’) parallèle à (BC). On a les égalités :

Théorème de Thalès : démonstration d’après le lemme des proportions. Mais a(BCC’)=a(BCB’) car les droites (B’C’) et (BC) sont parallèles. Donc on obtient l’égalité : L’égalité s’en déduit par complément à 1.

Théorème de Thalès : démonstration Il reste une égalité à prouver ou de l’intérêt en géométrie d’introduire de nouveaux éléments.

Théorème de Thalès : démonstration Il suffit d’appliquer ce qui vient d’être prouvé dans le triangle ABC avec la sécante (C’C’’) parallèle à (AB).

Le théorème des milieux Soit un triangle ABC, B’ le milieu du segment [AC] et C’ un point du segment [AB]. Si la droite (B’C’) est parallèle à la droite (BC) alors le point C’ est le milieu du segment [AB].

Le théorème des milieux : démonstration B’ est le milieu du segment [AC]. Donc aire(C’AB’)=aire(C’B’C). aire(C’B’C)=aire(C’B’B) car (B’C’)//(BC). Par conséquent, aire(C’AB’)=aire(C’B’B). On en déduit que le point C’ est le milieu du segment [AB].

Concourance des médianes d’un triangle Il suffit d’appliquer le lemme du chevron. aire(AMB)=aire(AMC) car M est sur [AA’]. aire(AMB)=aire(BMC) car M est sur [BB’]. Donc aire(AMC)=aire(BMC). On en déduit par une nouvelle application du lemme du chevron que la droite (MC) coupe le segment [AB] en son milieu.

Références Aires et volumes : découpage et recollement. Daniel Perrin. Mathématiques d’école. Daniel Perrin. Éditions Cassini. Démontrer par les aires. André Laur. Bulletin vert de l’APMEP, n° 463 de mars-avril 2006. Les aires comme outil géométrique. Jean-Marie Bouscasse. Les revues pédagogiques de la Mission Laïque Française. Activités mathématiques et scientifiques (janvier 1999). Initiation au raisonnement déductif au collège. IREM de Lyon.