cours DÉTERMINANT

Au dernier cours nous avons vus Linverse dune matrice. Quelques théorèmes qui encadrent son existence. Les matrices élémentaires. Lalgorithme de Gauss pour trouver linverse.

Aujourdhui, nous allons voir Le déterminant dune matrice carré Les propriétés du déterminant La matrice adjointe Calcul de linverse à laide de la matrice adjointe

Définition: 4 Soit une matrice carrée, le mineur de la i- ième lignes et j-ième colonnes noté est la sous matrice de obtenue en y enlevant la i- ième ligne et j-ième colonne.

Définition: 5 Soit une matrice carrée n x n, le déterminant de, noté est définit de manière récursive comme suit; On fixe une ligne ou une colonne Si n=1 Si n >1

Exemple:

Propriétés des déterminants 1)

En développant selon cette ligne de zéros. Si a une ligne ou une colonne de zéros, alors2) Propriétés des déterminants

Si est obtenue de en multipliant une ligne (ou colonne) par une constante. 3) Propriétés des déterminants

Si a deux lignes ou deux colonnes identique, alors Si est une matrice 2 x 2 alors car 4) Si est de format n x n avec n > 2, on peut développer le déterminant en ne développant jamais avec les deux lignes (2 colonnes) identiques. Le résultat sera une (potentiellement très grosse) somme de déterminants 2 x 2 avec 2 lignes (ou 2 colonnes) identiques. Donc une grosse somme de zéro! Propriétés des déterminants

Si est obtenue de en ajoutant un multiple dune ligne (ou colonne) à une autre. 5) Propriétés des déterminants

Si est obtenue de en interchangeant deux lignes ou deux colonnes 6) Si est une matrice 2 x 2 alors car Le résultat sera une (potentiellement très grosse) somme de déterminants 2 x 2. Si est de format n x n avec n > 2, on peut développer le déterminant en ne développant jamais avec les deux lignes (2 colonnes) interchangé. Si on interchange leurs deux lignes et quon mets les -1 en évidence, on obtient Propriétés des déterminants

Proposition: Soit une matrice triangulaire supérieurs (ou inférieure) alors le déterminant de est le produit des éléments de sa diagonale principale. En développant selon la première colonne.

Proposition:

Une preuve directe de ceci nest pas particulièrement amusante! Mais! Si on passe par les matrices élémentaires... cest plus beaucoup plus sympathique! Si est une matrice élémentaire alors Il y a trois type de matrice élémentaire donc trois cas à vérifier. Lemme:

(Type ) Car est diagonale donc est la produit de sa diagonale. Car est triangulaire donc est la produit de sa diagonale.

Théorème: Preuve: car la dernière ligne de est une ligne de zéros. On peut écrire avec Sialors et donc

En fait, on peut reformuler le dernier théorème comme suit; est inversible Et cet énoncé, ça peut sauver bien du temps! Car calculer un déterminant, est pas mal plus court que de trouver un inverse!

Preuve: Si alors de ( )

Si reste à voir que auquel cas, on aura que mais car la dernière ligne de est une ligne de zéros. et donc la dernière ligne de aussi et

Proposition: Preuve: Transposé ne fait quinterchanger le rôle des lignes et des colonnes. Proposition:

Remarque: 25 Cette définition permet la réécriture du déterminant comme suit; Soit une matrice carrée, le cofacteur de lélément, noté, est : Définition:

Proposition: Preuve: Si alors Lidée devient explicite si on prend

Définition: La matrice adjointe de, noté, est: La matrice des cofacteurs de, noté, est: Définition:

Exemple:

Linverse dune matrice est donnée par: Vérification:

Cette méthode dinversion de matrice peut être plus longue. Mais si la matrice est une 2x2, cest vraiment plus vite!

Exemple: Soit calculer.

Aujourdhui, nous avons vu Le déterminant dune matrice carré Les propriétés du déterminant La matrice adjointe Calcul de linverse à laide de la matrice adjointe

Devoir: p. 225 # 1 à 7