Retour sur la notion de taux dintérêt Taux dintérêt réel, nominal, taux dintérêt composé actualisation

1. Taux dintérêt réel / nominal

Supposons que je prête 100 pour un an… Le taux dintérêt est de 5 % (i= 5% = 5/100 = 0,05) Donc la somme que lon me rendra sera multipliée par… Linflation est de 3 % Donc la valeur de leuro aura été divisée par… 1,05 1,03 x 1 = x 0 + x 0 x i x 1 = x 0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03 x 0 est la somme initialement prêtée x 1 la somme due au bout dun an

En prêtant 100 me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? On ma remboursé 5% deuros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins Au total on ma remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 Donc le taux dintérêt est en réalité de… 1,94% Passer de 100 à 101,94 Cest multiplier par 1,0194 Cest augmenter de 1,94%

Rappelez la définition du taux dintérêt réel et du taux dintérêt nominal : InternetInternet Quel est le taux dintérêt réel dans lexemple précédent ? Que signifie un taux dintérêt réel négatif ? 1,94% Ou de façon approximative : Tx nominal – Tx dinflation = 5-3 = 2% Tx nominal < Tx dinflation

Retenons la formule (approximative) Tx dint. réel (ir) =Tx dint. nominal (in) – tx dinflation (t) Etes vous capable décrire la formule rigoureuse ? Ir = [ (1+in) / (1+t) ] - 1

Quizz … Une fois le contrat de prêt conclu, linflation favorise… les créanciersles débiteurs Quand les anticipations dinflation sont fortes les prêteurs vont proposer… des taux plus élevésdes taux plus bas X X

2. Taux dintérêt composés

Supposons le taux dintérêt égal à 3% Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici linflation et on suppose que chaque année les intérêts sajoutent à la somme due) De quelle somme serai-je remboursé ? On ne peut pas écrire : 3% pendant 10 ans égalent 30 % Car chaque année les intérêts représentent 3% dune somme un peu plus importante !

Et ainsi de suite à 10 reprises Calcul dun taux dintérêt composé Départ Somme x 0 Au bout dun an Somme x 1 = x 0 x 1,03 X 1,03 Que se passe-t-il après un an ? Que se passe-t-il après deux ans ? Au bout de deux ans Somme x 2 = x 1 x 1,03 = x 0 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 2 Au bout de trois ans Somme x 3 = x 2 x 1,03 = x 1 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = x 0 x 1,03 3 X 1,03 Que se passe-t-il après trois ans ?

Doù la formule x n = x o (1+i) n Avec x o la somme initialement prêtée, x n la somme rendue après n années, i le taux dintérêt en vigueur

Compliquons un peu Je prête 200 pour 12 ans Le taux dintérêt nominal est de 6% Le taux dinflation moyen est de 2% Combien aurai-je gagné en courants ? en constants ?

En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06) 12 = 402,44 La somme rendue a augmenté de 101,22% par rapport à la somme prêtée. Rappel : un taux dintérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroît la somme, non pas de 6 x 12 = 72 % mais de 101,22 %

En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux dintérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de leuro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux dintérêt réel = 3,92 %) 200 x 1, = 317,32

En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux dintérêt réel Taux dintérêt réel = taux dintérêt nominal – taux dinflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21

En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisquon me rembourse 402,44 en euros courants Je nai quà les ramener à des euros constants Les prix ont été multipliés par 1,02 12 Le pouvoir dachat de leuro a été divisé par 1, ,44 / 1,02 12 = 317,32 Le résultat est le même quavec la première méthode

3. Actualisation

Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant linflation et toujours avec intérêts cumulés) Donc la somme que lon me rendra sera multipliée par… Inversement, le taux dintérêt courant étant de 3%, si on me propose de me verser 134 dans 10 ans… A combien suis-je prêt à renoncer aujourdhui pour cela ? 1,03 10 = 1, au maximum Car si jai 100 et que je les place à 3% jen aurai 134 dans 10 ans

Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par (1+i) n Donc pour calculer la valeur actuelle dune somme perçue dans lavenir on la divise par (1+i) n

Cest la même opération inversée somme actuellesomme dans n années multiplier par(1+i) n diviser par(1+i) n

Un investissement va rapporter… euros lan prochain euros lannée suivante 8000 euros lannée daprès et cest tout. Quel est le montant quon peut y engager si le taux dintérêt est de 7% ?

Actualisons le revenu futur lan prochain = / 1,07 aujourdhui dans deux ans = / (1,07) 2 aujourdhui 8000 dans 3 ans = 8000 / (1,07) 3 aujourdhui / 1, / (1,07) / (1,07)3 = 28977,76

Que signifie ce résultat ? La valeur actualisée des annuités futures de ce projet représente 28977,76 Supposons que jaie 28977,76 et que je les plaçe au taux dintérêt courant (7%) je pourrais obtenir dans un an, dans deux ans et 8000 dans 3 ans. Il suffirait de en retirer progressivement les fonds placés. Et cela, en dormant ! Il nest donc pas rationnel dengager plus de , 76 dans ce projet. Et si le taux dintérêt augmentait, serais-je prêt à y engager plus ou moins de fonds ? Moins, car la valeur actualisée des annuités futures diminue quand le taux dintérêt augmente.

Quizz… Si le taux dintérêt augmente une somme future représente en valeur actualisée… plus quavant moins quavant Si le taux dintérêt diminue, un titre qui rapporte 1000 par an vaudra plus cher quavant moins cher quavant X X

Bienvenue dans le monde mystérieux de la finance... Ce principe gouverne lévolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créance porteurs dun intérêt fixe. Quand les taux baissent les cours des obligations augmentent Quand les taux augmentent les cours des obligations baissent