Modélisation et paramétrage des mécanismes Cinématique Correction du devoir du 08 mars 2010

1 : classes d'équivalence

1 : classes d'équivalence Classe d'équivalence (nom) Numéros de pièces de la classe d'équivalence 1 : Bâti 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11,13, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 31, 32,33 2 : vilebrequin 4, 5, 14, 15, 17, 18 3 : Bielle 6, 16, 20 4 : piston 7, 19, 29, 30 5 : Clapet 26 Autre 12

2 : graphe des liaisons Bâti Vilebrequin Piston Bielle

3 : Schéma cinématique spatial

4 - 5 : Mobilité utile - hyperstatime Une mobilité utile la rotation du vilebrequin autour de son axe qui permet de définir la position de toutes les pièces du système Degré d'hyperstatisme une boucle cinématique de 3 pièces + le bâti Nous pourrons écrire 3 PFD Nous avons 2 liaison pivot : 2x5 = 10 inconnues de liaison 2 liaison pivot glissant : 2x4 = 8 inconnues de liaison 1 mobilité utile soit 19 inconnues. Système hyperstatique de degré 1

6 : Schéma cinématique plan D C B A O

7 : Bouclage cinématique 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝑂 = 0 𝑒 𝑦 1 +𝐿 𝑦 2 +𝑎 𝑦 0 +𝑑 𝑦 0 − 𝑎+𝐿+𝑒 𝑦 0 = 0 𝑒 cos α 𝑦 0 −sin α 𝑥 0 ⋯+𝐿 cos β 𝑦 0 +sin β 𝑥 0 ⋯+𝑎 𝑦 0 +𝑑 𝑦 0 − 𝑎+𝐿+𝑒 𝑦 0 = 0

7 : Bouclage cinématique { −𝑒sin α +𝐿sin β =0 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑥 0 𝑒cos α +𝐿cos β +𝑎+𝑑−𝑎−𝐿−𝑒=0 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑦 0 { 𝐿sin β =𝑒sin α 𝐼 𝐿cos β =−𝑒cos α −𝑑+𝐿+𝑒 𝐼𝐼 𝐼 :β= sin –1  𝑒sin α 𝐿  𝐼𝐼 :𝑑=𝐿 1–cos  sin –1  𝑒sin α 𝐿   –e 1–cos α

7 : Bouclage cinématique

7 : Bouclage cinématique (I)²+(II)² : 𝐿 2 sin 2 β + cos 2 β ⋯= 𝑒 2 sin 2 α + 𝑒 2 cos 2 α +2𝑒cos α 𝑑−𝐿−𝑒 + −𝑑+𝐿+𝑒 2 𝐿 2 = 𝑒 2 +2𝑒cos α 𝑑−𝐿−𝑒 + −𝑑+𝐿+𝑒 2 α=± cos −1  𝐿 2 − 𝑒 2 − −𝑑+𝐿+𝑒 2 2𝑒 𝑑−𝐿−𝑒 

8 : taux de rotation Ω 1/0 = α ˙ 𝑧 0,1,2 Ω 2/0 =− β ˙ 𝑧 0,1,2

9 : vitesse de A 𝑂𝐴 =𝑒 𝑦 1 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 =  d 𝑂𝐴 d𝑡  𝑅 0 =𝑒  d 𝑦 1 d𝑡  𝑅 0 ⋯=𝑒  d 𝑦 1 d𝑡  𝑅 1 + Ω 1/0 ∧ 𝑦 1 ⋯=𝑒 0 + α ˙ 𝑧 1 ∧ 𝑦 1 =−𝑒 α ˙ 𝑥 1

10 : vitesse de B 𝑂𝐵 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝑒+𝐿+𝑎 𝑦 0 −𝑑 𝑦 0 −𝑎 𝑦 0 ⋯= 𝑒+𝐿−𝑑 𝑡 𝑦 0 𝑉 𝐵/ 𝑅 0 =  d 𝑂𝐵 d𝑡  𝑅 0 =  d 𝑒+𝐿−𝑑 𝑡 𝑦 0 d𝑡  𝑅 0 ⋯= −𝑑 𝑡 ˙ 𝑦 0 =− 𝑑 ˙ 𝑦 0

11 : accélération de A 𝑎 𝐴/ 𝑅 0 =  d 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 d𝑡  𝑅 0 ⋯=  d 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 d𝑡  𝑅 1 + Ω 1/0 ∧ 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 ⋯=  d−𝑒 α ˙ 𝑥 1 d𝑡  𝑅 1 + α ˙ 𝑧 0,1,2 ∧−𝑒 α ˙ 𝑥 1 𝑎 𝐴/ 𝑅 0 =−𝑒 α ¨ 𝑥 1 −𝑒 α ˙ 2 𝑦 1

12 : torseur cinématique de « 1 » 𝑉 1/ 𝑅 0 = 𝑂 Ω 1/0 𝑉 𝑂/ 𝑅 0 = 𝑂 α ˙ 𝑧 0,1,2 0

13 : torseur cinématique de « 2 » 𝑉 2/ 𝑅 0 = 𝐴 Ω 2/0 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 = 𝐴 − β ˙ 𝑧 0,1,2 −𝑒 α ˙ 𝑥 1

14 : vitesse de G 𝑉 𝐺/ 𝑅 0 = 𝑉 𝐴/ 𝑅 0 + 𝐺𝐴 ∧ Ω 2/0 ⋯=−𝑒 α ˙ 𝑥 1 −ℎ 𝑦 2 ∧ − β ˙ 𝑧 0,1,2 ⋯=−𝑒 α ˙ 𝑥 1 +ℎ β ˙ 𝑥 2

15 : accélération de G 𝑎 𝐺/ 𝑅 0 = 𝑎 𝐴/ 𝑅 0 + Ω 2/0 ∧ 𝐺𝐴 ∧ Ω 2/0 ⋯+ 𝐺𝐴 ∧  d Ω 2/0 d𝑡  𝑅 0 𝑎 𝐺/ 𝑅 0 =−𝑒 α ¨ 𝑥 1 + α ˙ 2 𝑦 1 + − β ˙ 𝑧 2 ∧ −ℎ 𝑦 2 ∧ − β ˙ 𝑧 2 ⋯−ℎ 𝑦 2 ∧ − β ¨ 𝑧 2 =−𝑒 α ¨ 𝑥 1 + α ˙ 2 𝑦 1 −ℎ β ˙ 𝑥 2 ∧ − β ˙ 𝑧 2 −ℎ β ¨ 𝑥 2 =−𝑒 α ¨ 𝑥 1 + α ˙ 2 𝑦 1 +ℎ β ¨ 𝑥 2 − β ˙ 2 𝑦 2